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Steckbriefaufgabe

Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen (z.B. Position von Nullstellen, Hochpunkten etc.).

Dieser Artikel behandelt nur Funktionsterme in Form von Polynomen.

Eine beispielhafte Aufgabe wäre:

Finde eine Funktion 22. Grades, die eine doppelte Nullstelle bei x0=1x_0=1 besitzt und durch den Punkt P(01)P(0\left|1)\right| verläuft.

Beispiel

Im folgenden Video siehst du ein Beispiel für eine Steckbriefaufgabe und wie du sie lösen kannst.

Der allgemeine Ansatz

Als erste Information benötigt man den Grad der zu bestimmenden Funktion. Davon ausgehend, lässt sich die allgemeine Funktionsgleichung f(x)=axn+bxn1+f(x)=ax^n+bx^{n-1}+… aufstellen. Ziel ist es nun, die Unbekannten aa, bb, \dots zu bestimmen. Dazu sind mehrere Informationen erforderlich, die jeweils unterschiedliche Gleichungen liefern. Zum Beispiel resultiert aus der Information, dass ein gegebener Punkt P(x0,y0)P\left(x_0,y_0\right) auf dem Funktionsgraphen liegt, die Gleichung

Mehrere Bedingungen führen zu mehreren Gleichungen, die zusammen ein lineares Gleichungssystem ergeben, dessen Lösung die Koeffizienten aa, bb, \dots sind.

Von der Information zur Gleichung

Ein großer Teil der Arbeit bei dieser Problemstellung liegt im Aufstellen der zu einer Information zugehörigen Gleichungen. In der folgenden Tabelle steht links jeweils die gegebene Information, in der Mitte die allgemeine Gleichung, die daraus resultiert und rechts ein erläuterndes Beispiel.

In den folgenden drei Abschnitten wird hinsichtlich der Anzahl an Gleichungen, die eine Information liefert, unterschieden.

 

Einfache Information

Sei die allgemeine Funktion f beispielhaft vom Grad 33:

  • f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d

  • f(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c

  • f(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2b

Information

allgemeine Gleichung

(am Beispiel von Gleichungen vom Grad 3)

Beispiel

ff besitzt eine Nullstelle

(f(x)=0f(x)=0) bei  N1N_1

aN13+bN12+cN1+d=0a\cdot N_1^3+b\cdot N_1^2+c \cdot N_1+d=0

N1=2:N_1 =2: a8+b4+c2+d=0a\cdot8+b\cdot4+c\cdot2+d=0

GfG_f  verläuft durch 

P=(px,py)P=(p_x,p_y)

apx3+bpx2+cpx+d=pya\cdot p_x^3+b\cdot p_x^2+c \cdot p_x+d=p_y

P=(2,3)P=(2{,}3) :     a8+b4+c2+d=3a\cdot8+b\cdot4+c\cdot2+d=3

ff hat eine Extremstelle

(f(x)=0f'(x)=0) bei  E1E_1

3aE12+2bE1+c=03a\cdot E_1^2+2b\cdot E_1+c=0

f(2)=0:f'(2)=0: 3a4+2b2+c=03a\cdot4+2b\cdot2+c=0

ff hat eine Wendestelle

(f(x)=0f''(x)=0) bei W1W_1

6aW1+2b=06a\cdot W_1 +2b=0

f(2)=0f''(2)=0 :    6a2+2b=06a\cdot2+2b=0

Beispiel - Polynom vom Grad 2

Gesucht ist eine Funktion vom Grad 2, die eine Nullstelle bei x=2x=2 besitzt, durch den Punkt P(1,3)P(-1,-3) verläuft und ein Minimum bei x=14x=\frac{1}{4} besitzt. 

Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:

Information

Mathematische Beschreibung

Gleichung

Funktion vom Grad 22

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

f(x)=2ax+bf'(x)=2ax+b

Besitzt eine Nullstelle bei

x=2x=2

f(2)=0f(2)=0

a4+b2+c=0a\cdot4+b\cdot2+c=0

Verläuft durch den Punkt P(1;3)P(-1;-3)

f(1)=3f(-1)=-3

a(1)2+b(1)+c=3a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c=-3

Besitzt ein Minimum bei

x=14x=\frac{1}{4}

f(14)=0f'(\frac{1}{4})=0

2a14+b=02\cdot a\cdot\frac{1}{4}+b=0

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

8237_No0t0I130G.xml

mit der eindeutigen Lösung

a=2a=2, b=1b=-1, c=6c=-6

also hat ff die Form

Mehrfache Information

Viele Aussagen verraten uns mehrere Informationen auf einmal.

Die folgende Tabelle stellt die Aussagen den eigentlichen Informationen gegenüber.

Aussage

Einfache Informationen

ff besitzt eine doppelte Nullstelle bei  N1N_1

  • ff besitzt eine Nullstelle bei  N1:f(N1)=0N_1:f(N_1)=0

  • ff besitzt eine Extremstelle bei  N1:f(N1)=0N_1:f'(N_1)=0

ff besitzt einen Extrempunkt bei  P(x0y0)P(x_0\left|y_0)\right|

  • ff verläuft durch den Punkt P:P:

    f(x0)=y0f\left(x_0\right)=y_0

  • ff besitzt eine Extremstelle bei P:f(x0)=0P:f'(x_0)=0

ff besitzt einen Wendepunkt bei  P(x0,y0)P(x_0,y_0)

  • ff verläuft durch den Punkt P:f(x0)=y0P:f(x_0)=y_0

  • ff besitzt eine Wendestelle bei P:f(x0)=0P:f''(x_0)=0

ff besitzt eine Sattelstelle bei S(x0,y0)S(x_0,y_0)

  • f(x0)=y0f\left(x_0\right)=y_0

  • f(x0)=0f'\left(x_0\right)=0

  • f(x0)=0f''\left(x_0\right)=0

Beispiel - Polynom vom Grad 3

Formulierung

Mathematische Bedeutung

Gesucht ist eine Funktion vom Grad 33,

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx²+cx+d,

f(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax²+2bx+c,

f(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2b

die eine doppelte Nullstelle bei N1=1N_1=-1

  • a(1)3+b(1)2+c(1)+d=0a\cdot(-1)^3+b\cdot(-1)^2+c\cdot(-1)+d=0

  • 3a(1)2+2b(1)+c=03a\cdot(-1)^2+2b\cdot(-1)+c=0

und einen Extrempunkt bei E(11)E(1\left|1\right) hat.

  • a13+b12+c1+d=1a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot1+d=1

  • 3a12+2b1+c=03a\cdot1^2+2b\cdot1+c=0

8239_uor3lI8epk.xml

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

 

1a+1b1c+1d=03a2b+1c+0d=03a+2b+1c+0d=0a+1b+1c+1d=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}-1a&+1b&-1c&+1d&=0\\3a&-2b&+1c&+0d&=0\\3a&+2b&+1c&+0d&=0\\a&+1b&+1c&+1d&=1\end{array}

mit der eindeutigen Lösung

a=14  ,  b=0  ,  c=34  ,  d=12a=-\frac14\;,\;b=0\;,\;c=\frac34\;,\;d=\frac12

also hat ff die Form

Besondere Informationen

Aus manchen Informationen resultieren noch stärkere Aussagen als die bisher beschriebenen.

Information

Auswirkung

Beispiel

ff ist achsensymmetrisch zur yy-Achse

alle Variablen vor ungeraden Potenzen von xx entfallen

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+ef(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

wird zu

f(x)=ax4+cx2+ef(x)=ax^4+cx^2+e

ff ist punktsymetrisch zum Ursprung

alle Variablen vor geraden Potenzen von xx entfallen

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d

wird zu

f(x)=ax3+cxf(x)=ax^3+cx


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