Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Ermitteln Sie die Koeffizienten $a_{2}$ und $a_{1}$ so, dass die Funktion $f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ an den Stellen $x = - 1$ und $x = 0,5$ die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion $g (x) = 2 x - 1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Die Funktionen $f$ und $g$ sollen für $x = - 1$ und $x = 0,5$ , den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du $x = - 1$ und $x = 0,5$ in $g (x)$ einsetzt.

$g (x) = 2 x - 1$

$g(-1)=2\cdot\left(-1\right)-1=-3$

$\;\;\rightarrow$ ${\mathrm P}_1\left(-1\vert-3\right)$

$g(0{,}5)=2\cdot0{,}5-1=0$

$\;\;\rightarrow$ ${\mathrm P}_2\left(0{,}5\vert\;0\right)$

Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ müssen nun auch auf dem Graphen von $f$ liegen.

Einsetzen der Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ in den Funktionsterm von $f$

$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$

Setze $\mathrm{P}_1\left(-1|-3\right)$ in $f (x)$ ein.

$\displaystyle f\left(-1\right)$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$\displaystyle a_2\cdot\left(-1\right)^2+a_1\cdot\left(-1\right)+3$	$=$	$\displaystyle -3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle a_2-a_1+3$	$=$	$\displaystyle -3$

$a_{1}$ und $a_{2}$ müssen also diese Gleichung erfüllen, damit $f (- 1) = - 3$ ist und $P_{1}$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Setze ${\mathrm P}_2\left(0{,}5\vert\;0\right)$ in $f (x)$ ein.

$\displaystyle f\left(0{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$\displaystyle a_2\cdot\left(0{,}5\right)^2+a_1\cdot0{,}5+3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 0{,}25a_2+0{,}5a_1+3$	$=$	$\displaystyle 0$

$a_{1} $ und $a_{2} $ müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit $f (0,5) = 0$ ist und $P_{2}$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Gleichungssystem lösen

Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ( $a_{1}$ und $a_{2}$ ) und kannst dieses lösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} I)&a_2-a_1+3&=&-3\\II)&0{,}25a_2+0{,}5a_1+3&=&0\end{array}$

Nimm die $I I)$ Gleichung $\cdot 4$ , um sie zu vereinfachen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} I)&a_2-a_1+3&=&-3\\II')&a_2+2a_1+12&=&0\end{array}$

Wende nun das Additionsverfahren an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcll}I)-II'):&\left(a_2-a_1+3\right)-\left(a_2+2a_1+12\right)&=&-3-0\\&a_2-a_1+3-a_2-2a_1-12&=&-3\\&-3a_1-9&=&-3&|+9\\&-3a_1&=&6&|:(-3)\\&a_1&=&-2\end{array}$

Jetzt kannst du $a_{1}$ in Gleichung $I)$ , $I I)$ oder $I I^{'})$ einsetzen und nach $a_{2}$ auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.

Einsetzen in $I)$ liefert:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}I)& a_2-(-2)+3&=&-3\\&a_2+2+3&=&-3\\&a_2+5&=&-3&|-5\\&a_2&=&-8\end{array}$

Du hast also jetzt $a_{1}$ und $a_{2}$ bestimmt. Setz die Werte noch in $f$ ein und du bist fertig.

$\Rightarrow$ $f(x)=-8\mathrm x^2-2\mathrm x+3$

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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das?

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Einsetzen der Punkte P1P_1P1​ und P2P_2P2​ in den Funktionsterm von fff

Gleichungssystem lösen

Einsetzen der Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ in den Funktionsterm von $f$