Lineare (Un)abhängigkeit

Definition

Zwei Vektoren

sind linear abhängig, wenn sie kolinear, d.h. parallel verlaufen:

Drei Vektoren

sind linear abhängig, wenn sie komplanar, d.h. in einer Ebene sind und man mit ihnen eine geschlossene Vektorkette bilden kann.

Gilt dies nicht, sind die Vektoren linear unabhängig.

Insbesondere folgt daraus bereits, dass drei Vektoren im  $\mathbb{R}^2$  immer linear abhängig sind, da sie sich alle in einer Ebene befinden. 

Allgemeine Definition

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn man eine Linearkombination von ihnen bilden kann, die den Nullvektor ergibt und nicht trivial ist (trivial wäre, einfach von allen Vektoren das Nullfache zu nehmen).

Geht das nicht, so sind sie linear unabhängig.

Berechnung bei zwei Vektoren

Zwei Vektoren $\overrightarrow u$  und  $\overrightarrow v$  sind dann linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:   $\overrightarrow v=k\cdot\overrightarrow u\;$ mit $k\in ℝ$ . 

Beispiel 1 

Die zwei Vektoren  $\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$  und  $\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}$  sind linear abhängig, da  $\overrightarrow{v_2}=3\cdot\overrightarrow{v_1}$ . 

Beispiel 2 

Die zwei Vektoren  $\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$  und  $\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}4\\10\end{pmatrix}$  sind linear unabhängig. Wären sie linear abhängig, so könnte man  $\overrightarrow{v_2}$  ausdrücken als  $k\cdot\overrightarrow{v_1}$. Das ist nicht möglich, da die erste Komponente der Vektoren  $k=4$  impliziert - das passt aber nicht zur zweiten Komponente, da  $4\cdot3=12\neq10$. 

Beispiel 3

Die zwei Vektoren  $\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}$  und  $\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}4\\12\\16\end{pmatrix}$  sind linear abhängig, da  $\overrightarrow{v_2}=4\cdot\overrightarrow{v_1}$. 

Beispiel 4 

Die zwei Vektoren  $\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$  und  $\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}6\\6\\4\end{pmatrix}$  sind linear unabhängig. Wären sie linear abhängig, so könnte man  $\overrightarrow{v_2}$  ausdrücken als  $k\cdot\overrightarrow{v_1}$. Das ist nicht möglich, da die erste und zweite Komponente der Vektoren  $k=3$  impliziert, das aber nicht zur dritten Komponente passt - schließlich gilt  $3\cdot1=3\neq4$. 

Berechnung bei drei Vektoren

Drei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich eine geschlossene Vektorkette bilden lässt. Dabei dürfen allerdings nicht alle k-Parameter gleich null sein.

Formel zur Überprüfung

$k_1\overrightarrow{v}_1+k_2\overrightarrow{v}_2+k_3\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{0}$  

Beispiel 1 

Die drei Vektoren  $\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$,  $\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$  und  $\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}$  sind linear abhängig, da z. B.  $-11\cdot\overrightarrow{v_1}+2\cdot\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{0}$  gilt. 

Beispiel 2 

Die drei Vektoren  $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}2\\3\end{array}\\1\end{pmatrix}$,  $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}3\\4\end{array}\\1\end{pmatrix}$  und  $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}2\\0\end{array}\\0\end{pmatrix}$  sind linear unabhängig, da sie sich nicht in einer Ebene befinden. 

Beispiel 3 

Die drei Vektoren  $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}4\\1\end{array}\\2\end{pmatrix}$,  $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}3\\3\end{array}\\3\end{pmatrix}$  und  $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}-2\\-5\end{array}\\-4\end{pmatrix}$  sind linear abhängig, da z. B.  $\overrightarrow{v_1}-2\cdot\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{0}$  gilt.