Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)

Mithilfe der sogenannten "Mitternachtsformel" (auch "Lösungsformel", abc-Formel oder "Quadratische Lösungsformel" genannt) lassen sich quadratische Gleichungen lösen und so Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen. Quadratische Gleichungen lassen sich auch mithilfe der pq-Formel, einer Alternative zur Mitternachtsformel, lösen.

Die Mitternachtsformel

Definition

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung $a x^{2} + b x + c = 0$ lauten:

\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Anzahl der möglichen Lösungen

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung von der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ ist abhängig von der Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ . Die Diskriminante ist genau der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht. Eine quadratische Gleichung hat:

zwei Lösungen, falls $D > 0$
genau eine Lösung, falls $D = 0$
gar keine Lösung, falls $D < 0$ .

Lösen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel

Um eine quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel zu lösen, muss man aus der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ entnehmen und dann in die Mitternachtsformel einsetzen.

Vorgehen am Beispiel

Gleichung	Koeffizienten ablesen	Formel einsetzen
$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$	$a = 2$ $, b = 3$ $, c = - 5$	$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot (-5)}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{4}$ $\displaystyle \Rightarrow x_1=\frac{-3+7}4=\frac44=1$ $\displaystyle \Rightarrow x_2=\frac{-3-7}4=\frac{-10}4=-\frac52$
$x^{2} - 2 x + 1 = 0$	$a = 1, b = - 2, c = 1$	$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2}=\frac22=1$ Die Diskriminante ist $0$ , deshalb gibt es nur eine Lösung. Alternativer Lösungsweg: Man kann hier auch eine binomische Formel anwenden! $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} = 0$ $\Rightarrow x=1$
$3 x^{2} + 4 x + 5 = 0$	$a = 3, b = 4, c = 5$	$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 3\cdot 5}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm\sqrt{-44}}{6}$ Da unter der Wurzel eine negative Zahl steht - die Diskriminante ist kleiner als $0$ - hat die Gleichung keine Lösung in den reellen Zahlen.

Koeffizienten finden in komplizierteren Fällen

Oft ist die quadratische Gleichung nicht bereits in der Form $a x^{2} + b x + c = 0$ gegeben. Um auf diese Form zu gelangen, geht man typischerweise folgendermaßen vor:

Allgemeines Vorgehen	Vorgehen am Beispiel
gegebene Gleichung betrachten	gegeben ist die Gleichung $5 x + 3 x^{2} - 7 = 2 x^{2} + 3 x$
1. Gleichung umformen: Die quadratische Gleichung muss zunächst so umgeformt werden, dass auf einer der beiden Seiten 0 steht.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcll}5 x+3x^2-7&=&2x^2+3x&\left\|-(2x^2+3x)\right.\\5 x+3x^2-7-2x^2-3x&=&0\end{array}$
2. Gleichartige Terme zusammenfassen: Alle quadratischen Terme (Summanden mit $x^{2}$ ), alle linearen Terme (alle Summanden mit $x$ ) und alle konstanten Terme (reelle Zahlen) zusammenfassen.	$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcll}3x^2-2x^2+5x-3x-7&=&0\\x^2+2x-7&=&0\end{array}$
3. Koeffizienten ablesen: a ist der Faktor vor $\boldsymbol x^\mathbf2$ b ist der Faktor vor $\boldsymbol x$ die restlichen Summanden, die kein x enthalten, werden zu c zusammengefasst.	$a = 1$ $b = 2$ $c = - 7$
4. In Mitternachtsformel einsetzen: Nun muss man die Werte (wie oben schon gezeigt) noch in die Mitternachtsformel einsetzen.	$\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-7)}}{2\cdot1}=-1\pm2\cdot\sqrt2$ Ausführliche Lösung: $\displaystyle x_{1{,}2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-7)}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{16\cdot2}}{2}=\frac{-2\pm4\cdot\sqrt{2}}{2}=\frac{2\cdot\left(-1\pm2\cdot\sqrt2\right)}{2}=-1\pm2\cdot\sqrt2$

Die Koeffizienten müssen nicht immer Zahlen sein, sie können auch Parameter enthalten. Mehr dazu findest du im Artikel Parameter in quadratischen Gleichungen.

Herleitung der Mitternachtsformel

Um die Mitternachtsformel herzuleiten, löst man die allgemeine quadratische Gleichung

\displaystyle ax^2+bx+c=0

mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Zuerst bringen wir $c$ auf die rechte Seite, indem wir $c$ subtrahieren.

\displaystyle ax^2+bx=-c

Dann dividieren wir die Gleichung durch $a$

\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

Jetzt folgt die quadratische Ergänzung: Wir addieren auf beiden Seiten $(\frac{b}{2a})^2$ :

\displaystyle x^2+2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2

und wenden die 1. binomische Formel an, um die linke Seite als Quadrat zu schreiben:

\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2

Jetzt können wir nach $x$ auflösen, indem wir zuerst die Wurzel ziehen

\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2}

und dann $\dfrac{b}{2a}$ auf die andere Seite bringen

\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2}

Im Prinzip sind wir fertig, wir haben eine Lösungsformel. Allerdings sieht die noch nicht ganz so aus wie gewünscht. Dazu formen wir den Term in der Wurzel um

\displaystyle -\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac ca +\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

und erhalten für die rechte Seite insgesamt

\displaystyle -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac ca + \left(\frac{b}{2a}\right)^2} = -\frac{b}{2a} \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

\displaystyle =-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Damit haben wir die Mitternachtsformel

\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

hergeleitet.

Die pq-Formel

Die pq-Formel wird in Teilen Deutschlands alternativ zur Mitternachtsformel benutzt. Auch sie dient der Lösung einer quadratischen Gleichung und ist etwas einfacher zu merken. Eine Voraussetzung ist jedoch, dass der Vorfaktor des quadratischen Summanden $a = 1$ sein muss. Dazu sind eventuell Umformungen nötig.

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