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Erwartungswert

Der Erwartungswert ist ein Wert in der Stochastik und kommt im Zusammenhang mit Zufallsgrößen vor. Man kann sagen, der Erwartungswert festigt sich als Mittelwert der Ergebnisse bei mehrmaligem Wiederholen eines Experiments.

Der Erwartungswert sollte nicht mit dem arithmetischen Mittel verwechselt werden, hängt aber mit ihm zusammen.

Zum Beispiel erwartet man beim 6-maligen Werfen eines fairen Würfels einmal die Zahl "5" und durchschnittlich die Augenzahl 3,5. Wenn man den Würfel 6-mal wirft, kann die Zahl "5" jedoch 0- bis 6-mal auftreten und die durchschnittliche Augenzahl im Intervall von 1 bis 6 liegen.

Berechnung

Formel

Für eine diskrete Zufallsgröße X\text{X} mit Werten x1,x2,xnx_1,x_2\dots,x_n und deren Wahrscheinlichkeiten P(X=xi)\text{P}(\text{X}=x_i) berechnet man den Erwartungswert, den man normalerweise mit E(X)\text E (\text X ) oder μ\mu bezeichnet, wie folgt.

E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)++xnP(X=xn)=i=1nxiP(X=xi)\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l}\text E (\text X) & = & x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \\ & = & \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\text P (\text X = x_i)\end{array}

Der Erwartungswert berechnet sich also als Summe der Produkte von Wert und dessen Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

Werfen von zwei Laplace-Würfeln. Die Werte der Zufallsgröße X\text X sind genau die Summe der Augenzahlen.

x23456789101112P(X=x)136236336436536636536436336236136\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array} {c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}x & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\\hline \text P(\text X = x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36}\end{array}

Damit ergibt sich für den Erwartungswert für dieses Experiment.

E(X)=2136+3236+4336+5436+6536+7636+8536+9436+10336+11236+12136=7\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l} \text E(\text X)& = & 2\cdot\frac{1}{36}+3\cdot\frac{2}{36}+4\cdot\frac{3}{36}+5\cdot\frac{4}{36}+6\cdot\frac{5}{36}+7\cdot\frac{6}{36}\\ & & +\,8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{4}{36}+10\cdot\frac{3}{36}+11\cdot\frac{2}{36}+12\cdot\frac{1}{36}\\ & = & 7\end{array}

Dies bedeutet also, dass man beim Werfen von zwei fairen Würfeln im Mittel eine "7" würfelt.

Formel

Für eine stetige Zufallsvariable X\text X mit Werten in [a,b][\text a,\text b] und Dichtefunktion ff berechnet man den Erwartungswert, den man auch hier mit E(X)\text E(\text X) oder μ\mu bezeichnet, wie folgt.

E(X)=abxf(x)dx\displaystyle\text E(\text X)=\int\limits_{a}^{b}x\cdot f(x)\text dx

Der Erwartungswert berechnet sich also als Integral über das Produkt der Ergebnisse und der Dichtefunktion der Verteilung.

Beispiel

Die Verspätung einer U-Bahn sei mit folgender Dichtefunktion (xx ist die Minute, in der die U-Bahn eintrifft) gegeben

f(x)={0,80,32x fu¨0x2,50 fu¨sonstf(x)=\begin{cases}0{,}8-0{,}32x & \text{ für } & 0\leq x\leq2{,}5\\0 & \text { für } & \text{sonst} \end{cases}

Bild

Daraus ergibt sich für den Erwartungswert dieses Experimentes

E(X)=02,5xf(x)dx=02,5x(0,80,32x)dx=0,83\displaystyle\text E(\text X)=\int\limits_0^{2{,}5}x\cdot f(x)\text{d}x=\int\limits_0^{2{,}5}x\cdot(0{,}8-0{,}32x)\,\text dx=0{,}8\overline{3}

Das bedeutet, die U-Bahn hat im Schnitt 0,830{,}8\overline3 Minuten, das sind 5050 Sekunden, Verspätung.

Rechenregeln

  • Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen. X und Y sind hier zwei verschiedene Zufallsvariablen.

E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Allgemeine Formel

Für die Summe von n verschiedenen Zufallsvariablen Xi\text X_i gilt:

E(i=1nXi)=i=1nE(Xi)\displaystyle\text E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\text X_i\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\text E\left(\text X_i\right)

  • Linearität: cc und dd sind hier Konstanten und X\text X eine Zufallsvariable.

E(cX+d)=cE(X)+dE(c\cdot X+d)=c\cdot E(X)+d, also auch

E(cX)=cE(X)E(c\cdot X)=c\cdot E(X) und

E(d)=dE(d)=d

  • Erwartungswert von Produkten von unabhängigen Zufallsvariablen. X\text X und Y\text Y sind hier unabhängige Zufallsvariablen.

E(XY)=E(X)E(Y)E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)

Allgemeine Formel

Für n voneinander unabhängige Zufallsgrößen Xi\text X_i gilt:

E(i=1nXi)=i=1nE(Xi)\displaystyle\text E\left(\prod\limits_{i=1}^{n}\text X_i\right)=\prod\limits_{i=1}^{n}\text E(\text X_i)

Wichtige Erwartungswerte

Verteilung

Dichte

Erwartungswert

f(k)={pfu¨rk=11pfu¨rk=0f(k)=\begin{cases}p & \text{für}&k=1\\1-p&\text{für}&k=0\end{cases}\\

pp

B(n;p;k)=(nk)pk(1p)nk\displaystyle\text B(n;p;k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

npn\cdot p

N(μ;σ2)\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)

μ\mu

Beispielaufgabe

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
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