Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht.

$4x^2+k^2=-mx$

$4x^2+mx+k^2=0$

Lese die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der allgemeinen Form ab.

$a=4,b=m,c=k^2$

Berechne die Diskriminante $D=b^2-4ac$ der Gleichung.

$\begin{array}{l}D=m^2-4\cdot 4\cdot k^2=\\ m^2-16k^2=(m+4k)(m-4k)\end{array}$

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von $m$ und $k$ auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

$\begin{array}{l}D=(m+4k)\cdot (m-4k)=0\end{array}$ $\iff m=-4k$ oder $m=4k$

Da die Diskriminante $D(m)$ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, kannst du daran das Vorzeichenverhalten ablesen.

Ist $m<-4k$ oder $m>4k$ , dann ist $D\left(m\right)>0$ und es gibt zwei Lösungen. Ist $m=-4k$ oder $m=4k$, so ist $D\left(m\right)=0$ und es gibt genau eine Lösung. Für $m\in (-4k,4k)$ ist $D\left(m\right)<0$, also gibt es keine Lösung.

Wende nun die Mitternachtsformel an, um die Lösungen zu bestimmen. Beachte dabei aber die verschiedenen Fälle von oben

Für $m<-4k$ oder $m>4k$ ist:

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-16k}}{8}$

Für $m=-4k$ oder $m=4k$ ist:

$x_{}=\frac{-m\pm 0}{8}=\frac{-m}{8}$

Ist stattdessen $m\in (-4k,4k)$, dann gibt es keine Lösung.