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Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen

Hier lernst du, die Logarithmusgesetze anzuwenden und wiederholst wichtige Grundlagen zum Logarithmus.

  1. 1

    Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach xx auf.

    1. 2x=82^x=8

    2. 72x=27^{2x}=2

    3. 10x2=10010^{x^2}=100

  2. 2

    Löse die Gleichungen, indem du sie zu einer Potenz oder einem Logarithmus umformst.

    Schaffst du es, die Gleichungen zu lösen, ohne den Taschenrechner zu verwenden?

    1. 3x=273^x=27


    2. 2x=10242^x=1024


    3. 15x=22515^x=225


    4. 3x=193^{-x}=\frac{1}{9}


    5. 4x=12564^x=\frac{1}{256}


    6. log2x=3\log_2x=3


    7. log5x=3\log_5x=3


    8. log10x=4\log_{10}x=4


    9. log10x=2\log_{10}x=-2


  3. 3

    Gesucht ist die Basis bb.

    1. logb2=0\log_b2=0

    2. logb5=0,5\log_b5=0{,}5

    3. logb(125)=2\log_b\left(\frac1{25}\right)=2

  4. 4

    Entscheide jeweils, ob die Umformung allgemein gültig ist und begründe deine Entscheidung

    1. logb(2b)=?2\log_b\left(2b\right)\stackrel{?}{=} 2 für alle bR,b>0b\in\mathbb{R}, b>0

    2. logq(q5)=?5\log_q\left(q^5\right)\stackrel{?}{=}5 für qR,q>0q\in\mathbb{R}, q>0

    3. logz(1z3)=?3\log_z\left(\frac{1}{z^3}\right)\stackrel{?}{=}-3 für zR,z>0z\in \mathbb{R}, z>0

    4. loga(b+c)=?logablogac\log_a\left(b+c\right)\stackrel{?}{=}\log_ab\cdot\log_ac für a,b,cR,a,b,c>0a,b,c\in \mathbb R,\,\, a,b,c>0

    5. logk(ux+u)=?logk(u)+logk(x+1)\log_k\left(ux+u\right)\stackrel{?}{=}\log_k\left(u\right)+\log_k\left(x+1\right) für k,u,xR, k,u,x>0,k,u,x\in \mathbb R, ~ k,u,x >0,

    6. loga(x2y3)=?2logax3logay\log_a\left(x^2y^{-3}\right)\stackrel{?}{=}2\log_ax-3\log_ay für a,x,yR, a,x,y>0a,x,y\in \mathbb R,~ a,x,y>0

    7. logb(abb2)=logb(a)1\log_b\left(\frac{ab}{b^2}\right)=\log_b\left(a\right)-1 für a,bR, a,b>0a,b\in \R,~ a,b>0

    8. logb(1b4)=?4\log_b\left(\frac{1}{b^4}\right)\stackrel{?}{=}4 für bR, b>0b\in \R, ~ b>0

    9. logm(s2t2)=?logm(s+t)+logm(st)\log_m\left(s^2-t^2\right)\stackrel{?}{=}\log_m\left(s+t\right)+\log_m\left(s-t\right) für s,t,mR, m>0s,t,m\in \R, ~ m>0

      Außerdem soll sowohl s+t>0s+t>0 wie auch st>0s-t>0 sein.

  5. 5

    Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus und vereinfache diesen so weit wie möglich.

    1. logk(m4)2logk(m)\log_k\left(m^4\right)-2\log_k\left(m\right)

    2. 2loga(x+1)+loga(1x21)2\log_a\left(x+1\right)+\log_a\left(\frac{1}{x^2-1}\right)

    3. 2log(u)+12[log(u+v)+log(uv)]2\log(u)+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]

    4. (n+1)log(x)13    log(x6n)\left(n+1\right)\cdot\log(x)-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)

    5. log(ab)+log(ab)log(ab)2\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2

  6. 6

    Herleitung der Rechenregeln zum Logarithmus

    1. Das Logarithmusgesetz logb(uv)=logb(u)+logb(v)\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right) kann mithilfe des Potenzgesetzes axay=ax+ya^x\cdot a^y=a^{x+y} und die Definition des Logarithmus logb(a)=x bx=a\log_b\left(a\right)=x\ \Leftrightarrow b^x=a bzw logb(b)=1\log_b\left(b\right)=1 bewiesen werden.

      Erkläre das Vorgehen des folgenden Beweises, indem du jede Markierung (Zahlen in Klammern) kurz beschreibst.

      Für x, y Rx,\ y\ \in\mathbb{R} sei logb(u)=x\log_b\left(u\right)=x und logb(v)=y\log_b\left(v\right)=y.

      Dann gilt ebenfalls u=bxu=b^x und v=byv=b^y (1)

      und somit

      logb(uv)\displaystyle \log_b\left(u\cdot v\right)

      (2)

      ==logb(bxby)\displaystyle \log_b\left(b^x\cdot b^y\right)

      (3)

      ==logb(bx+y)\displaystyle \log_b\left(b^{x+y}\right)

      (4)

      ==x+y\displaystyle x+y

      (5)

      ==logb(u)+logb(v)\displaystyle \log_b\left(u\right)+\log_{b}\left(v\right)

      q.e.d.

    2. Beweise das Logarithmusgesetz logb(uv)=logb(u)logb(v)\log_b\left(\frac{u}{v}\right)=\log_b\left(u\right)-\log_b\left(v\right) analog zum oberen Beweis.

    3. Beweise das Logarithmusrechengesetz logb(ur)=rlogb(u)\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right) für rNr\in \N unter Verwendung des Logarithmusgesetzes logb(uv)=logb(u)+logb(v)\log_b\left(u\cdot v\right)=\log_b\left(u\right)+\log_b\left(v\right)

    4. Beweise das Logarithmusrechengesetz logb(ur)=rlogb(u)\log_b\left(u^r\right)=r\cdot\log_b\left(u\right) unter Verwendung der Regeln der Potenzrechnung.


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