Kettenregel

Betrachten wir als Beispiel die verkettete Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2$. Wir möchten sie mit der Kettenregel ableiten. Dazu muss $f$ zunächst in die beiden Teilfunktionen $u$ und $v$ zerlegt werden.

Diese Zerlegung veranschaulichen wir, indem wir $u$ als "$\textcolor{cc0000}{\text{äußere Funktion}}$" und $v$ als "$\textcolor{0099cc}{\text{innere Funktion}}$" betrachten. Im Beispiel ist die innere Funktion $\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)=x+1}$. Die äußere Funktion ist die Quadratfunktion, also $\textcolor{cc0000}{u\left(v\right)=v^2}$.

Setzen wir den inneren Funktionsterm von $\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)}$ in den äußeren Funktionsterm von $\textcolor{cc0000}{u}$ ein, erhalten wir die Verkettung der beiden Funktionen: $f(x)=\textcolor{cc0000}{u(}\textcolor{0099cc}{v\left(x\right)}\textcolor{cc0000}{)}$,

Das führt wie gewünscht zur Ausgangsfunktion  $f\left(x\right)=\textcolor{cc0000}{(}\textcolor{0099cc}{x+1}\textcolor{cc0000}{)^2}$.

Mit der nachfolgenden Animation kannst du dir die (punktweise) Entstehung des Schaubildes einer verketteten Funktion aus den Schaubildern der inneren und äußeren Funktionen mit verschiedenen Beispielen veranschaulichen.

Zunächst zerlegt man $f$ in $u$ und $v$ mit $f(x) = \color{cc0000}{u(}\color{0099cc}{v(x)}\color{cc0000}{)}$.

Dann berechnet man die Ableitungen von $u$ und $v$ …

… und setzt $v(x)$ in $u'$ ein.

Zuletzt muss man noch nachdifferenzieren und erhält insgesamt die Ableitung von $f$.