5Koordinatenform der Ebene (Kurs mit integrierten Aufgaben) (2|5)

Spurpunkte - eine Ebene skizzieren:

Um die zu einer Koordinatengleichung einer Ebene zugehörige Ebene einfach zu visualisieren, nutzt man, genauso wie bei Geraden, ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Betrachten wir weiter unsere Ebene aus obigem Beispiel:

Die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen haben offensichtlich folgende Gestalt:

Schnittpunkt mit $x_1$-Achse: $X_1(a|0|0)$. Schnittpunkt mit $x_2$-Achse: $X_2(0|b|0)$. Schnittpunkt mit $x_3$-Achse: $X_3(0|0|c)$.

Setzen wir den ersten Punkt in die Ebenengleichung ein, so ergibt sich:

$X_1\; \text{in}\; E: 1\cdot a-2\cdot 0-2\cdot 0=4$

Der Schnittpunkt mit der X-Achse ist also $X_1(4|0|0)$

Die Schnittpunkte mit den anderen beiden Achsen ermittelt man analog und kommt zu den Ergebnissen:

Der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist also $X_2(0|2|0)$. Der Schnittpunkt mit der Z-Achse ist also $X_3(0|0|1)$.

Anschließend zeichnet man diese drei Punkte nun in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem ein und verbindet sie:

Du siehst an dem Bild, dass z.B. der Punkt $P(5|0|0)$ nicht in der Ebene liegt. Dies bestätigt sich auch durch Einsetzen des Punktes in die Koordinatenform:

(unwahre Aussage)

Dagegen kannst du im Bild sehen, dass der Punkt $Q(2|1|0)$ wahrscheinlich in der Ebene liegt. Auch dies bestätigt sich durch Einsetzen des Punktes in die Koordinatenform:

(wahre Aussage)

Die Ebene entsteht durch unendliche viele Punkte und jeder Punkt ist eine Lösung der Gleichung.

Wenn du willst, kannst du dir bei folgendem Applet aus dem Geogebra-Tupe noch einmal die Spurpunkte von Ebenen in einem drehbaren 3-dimensionalen Modell angucken. Mit den Schiebereglern kannst du die Koordinaten des Normalenvektors und die Zahl d verstellen:

https://www.geogebra.org/m/g9evE5bs