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8V. Die Normalenform

Während der obigen Herleitung war die zentrale Überlegung, dass das Skalarprodukt jedes Normalenvektors einer Ebene mit dem Vektor, der einen x-beliebigen Punkt der Ebene mit dem Stützvektor verbindet, Null sein muss. Diese Überlegung wird durch folgende Gleichung ausgedrückt:

 

 

Da sie so zentral ist, erhält sie so wie die Koordinatenform einen eigenen Namen. Sie heißt Normalform und ist eine weitere Darstellungsform einer Ebene. Bei der Normalform spannt der Normalvektor n\vec{n} und ein Aufpunkt A\vec{A} die Ebene auf, das Skalarprodukt wird jedoch nicht (mit Distributivgesetz) aufgelöst. (Oder, wenn du von der Koordinatenform aus guckst,ist der Unterschied, dass der Normalenvektor n\vec{n} sozusagen ausgeklammert wurde.)

 

Beispielaufgaben

 

1.Aufgabe

 

Wandle folgende Normalenform in eine Koordinatenform um:E:  (614)[(x1x2x3)(103)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}6\\-1\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}{\mathrm x}_1\\{\mathrm x}_2\\{\mathrm x}_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0

2.Aufgabe

 

Gegeben ist ein Punkt P(3/8/1)P (3/8/-1) und ein Vektor n=(4/2/1)\vec{n} = (-4/2/1) Stelle eine Normalenform auf.

3.AufgabeNun der umgekehrte Weg. Gegeben ist folgende Koordinatenform:

Forme um, in die Normalenform:


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