Teilaufgabe a)

Sind 3 Punkte gegeben und soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, so wählt man zunächst einen der Punkte als Aufpunkt und stellt von ihm ausgehend zwei Richtungsvektoren auf, indem man die Differenzvektoren bildet.

Da allerdings eine Normalenform der Ebene gefordert ist, hilft es nun nichts, wenn man mit den beiden Richtungsvektoren und 2 Parametern eine Parameterform der Ebene aufstellt, sondern man bildet aus den beiden Richtungsvektoren mit Hilfe des Vektorprodukts gleich einen Normalenvektor.

Kurz gefasst geht es also in 3 Schritten:

  • Zwei Differenzvektoren aufstellen,
  • daraus den Normalenvektor bilden und schließlich
  • den Aufpunkt in die Normalenform einsetzen.

$$ \begin{align} E:\quad & \vec{n}_E\circ\left[\vec{x}-\vec{a}\right]=0 \end{align} $$

Dabei sind %%\vec{n}_E%% der Normalenvektor der Ebene %%E%% und %%\vec{a}%% der Orstvektor zum Aufpunkt %%A%%.

Zwei Differenzvektoren werden aufgestellt

$$ \begin{align} \overrightarrow{AB}&=\vec{b}-\vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{AC}&=\vec{c}-\vec{a} = \begin{pmatrix}-2\\1\\-1\end{pmatrix} \end{align} $$

Der Normalenvektor wird gebildet

$$ \begin{align} \vec{n}_{E} &= \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \\ &= \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)&- &1\cdot1\\ 1\cdot(-2)&-&(-1)\cdot(-1)\\ -1\cdot1 &-&1\cdot(-2) \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix} \end{align} $$

Der Aufpunkt %%A%% kommt hinzu …

… und fertig ist die Normalenform der Ebene %%E%%.

$$ \begin{align} E: \begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix} \circ\left[ \vec{x}- \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \right] &=0 \end{align} $$

Durch Ausrechnen des Skalarprodukts erhält man die Koordinatenform der Ebenengleichung, was sich mit Blick auf die nächste Teilaufgaben lohnt:

$$ \begin{align} E: -2x_1-3x_2+x_3-(-2-3+1) &= 0\\ -2x_1-3x_2+x_3+4&=0 \end{align} $$

Übrigens

  • die Hesse-Normalenform ist nicht gefordert, man kann sich also die Längenbestimmung (und Normierung) sparen
  • ob die Normalenform nun in der Vektor- oder Koordinatenvariante angeben wird, ist auch nicht festgelegt.

Teilaufgabe b)

Für Schnittpunkte mit der %%x_2%%-Achse gilt: %%x_1=x_3=0%%!

Nochmal zum Mitdenken: Liegt ein Punkt auf der %%x_2%%-Achse, dann müssen seine %%x_1%%-Koordinate und seine %%x_3%%-Koordinate gleich %%0%% sein!

Die Abbildung soll das zusätzlich verdeutlichen:

Setzt man also in der obigen Ebenengleichung %%x_1=0%% und %%x_2=0%%, dann vereinfacht sie sich zu: %%-3x_2+4=0%% bzw. %%x_2=\frac43%%.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten: %%(0|\frac43|0)%%.

Wer in Teilaufgabe a) bei der Vektorform aufgehört hat, der setzt nun an:

$$ \begin{align} E: \begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix} \circ\left[ \vec{x}- \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \right] &=0 \\ \begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix} \circ\left[ \begin{pmatrix}0\\x_2\\0\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \right] &=0\\ 0\cdot x_1-3x_2+0\cdot x_3-(-2-3+1) &= 0\\ -3x_2+4 &= 0\\ x_2 &= \frac{4}{3} \end{align} $$

Auch so kommt man zum Schnittpunkt %%(0|\frac43|0)%%.