Teilaufgabe a)

Bei dieser Aufgabe ist nun alles zur Methode Baumdiagramm gefragt! Insbesondere muss man über die sogenannten Pfadregeln Bescheid wissen. Zum Ereignis %%B%% im Baumdiagramm führen 2 Pfade. Die Wahrscheinlickeit, dass %%B%% eintritt ist mit %%0,3%% vorgegeben und kann andererseits aus der Summe zweier Pfade berechnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibts sich als Produkt der Wahrscheinlickeiten der einzelnen Äste. Mit der unbekannnten Wahrscheinlickeit %%p%% des Astes, der zu %%A%% führt, ergibt sich also folgende Gleichung:

$$ \begin{align} P(B) &= P(A)\cdot P_A(B) + P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(B) \\ 0,3 &= p\cdot 0,6 + (1-p)\cdot 0,2 \\ 0,3 &= 0,6 p +0,2 - 0,2 p \\ 0,1 &= 0,4 p \\ p &= 0,25 \end{align} $$

In der ersten Zeile stehen noch die allgemeinen Bezeichnungen für die Äste und man sieht, dass in der 2. Stufe des Experiments, also bei der 2. Verästelung, die bedingten Wahrscheinlichkeiten zum Einsatz kommen, was in Teilaufgabe a) schon angedeutet wurde.

Teilaufgabe b)

Mit dem Ansatz aus Teilaufgabe a hat man nun eine Formel, mit der man zu einem vorgegeben %%p%% das zugehörige %%P(B)%% berechnen kann

$$ \begin{align} P(B) &= p\cdot 0,6 + (1-p)\cdot 0,2 \\ &= 0,4\cdot p+0,2 \end{align} $$

Da %%p%% maximal den Wert %%1%% annehmen kann, ist dementsprechend %%P(B)\leqslant 0,6%%, der größtmögliche Wert von %%P(B)%% ist %%0,6%%.

Ergänzungen

Man kann die letzte Zeile der %%P(B)%%-Formel als Geradengleichung betrachten. Dazu sind nachfolgend die allgemeine Geradengleichung und die %%P(B)%%-Formel gegenübergestellt:

$$ \begin{align} P(B) &= 0,4\cdot p+0,2 \\ f(x) &= m\cdot x + t \quad\text{Geradengleichung} \end{align} $$

Durch Vergleich der zusammengehörenden Positionen sieht man, dass es sich um eine Gerade

  • mit Steigung %%M=0,4%%,
  • Achsenabschnitt %%0,2%% und - ganz wichtig -
  • eingeschränktem Definitionsbereich %%x\in[0;1]%%

handelt!

%%f(x)%% hat also bei %%x=1%% seinen maximalen Wert f(1)=0,6. Ein Maximum am Rande des Funktionsgraphen, kein lokales Maximum, dem man daher mit der Methode der 1. Ableitung auch nicht auf die Spur kommt!