6IV a. Herleitung - kurz & abstrakt

Schau dir die Herleitung im folgenden Applet an!

Dies ist der Link zu folgendem Applett (damit kannst du es größer in einem eignem Tab öffen):

https://ggbm.at/PebnJygJ

Im Applett gibt es eine Taste "Vor", die du immer wieder drücken musst, um Schritt für Schritt durch die Herleitung geführt zu werden.

Allgemeine Form einer Koordinatengleichung:

In der allgemeinen Form der Koordinatengleichung stehen $n_1, n_2$ und $n_3$ also für die drei Koordinaten des Normalenvektors $\vec{n} = (n_1/n_2/n_3)$. Das $x_1, x_2$ und $x_3$ steht dort als Platzhalter für die drei Koordinaten eines beliebigen Punktes $X$. Die linke Seite der Gleichung ist also nur das Skalarprodukt vom Normalenvektor und dem Ortsvektor eines x-beliebigen Punktes $X$:

Das Ergebnis des Skalarproduktes von Normalenvektor und Stützvektor ist eine Zahl - für sie steht im Applet das $d$.

Also ist die allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform:

Oder, wenn die Zahl $d$ auf die andere Seite gebracht wird:

Häufig verwendet man auch die dazu äquivalente Schreibweise:

Bei dieser Schreibweise wurden nur die Koordinaten des beliebigen Punktes $X$, der in der Ebene liegt, umbenannt von $x_1, x_2$ und $x_3$ in $x,y$ und $z$.

Eine Koordinatenform aufzustellen, wenn du den Stützvektor und den Normalenvektor kennst, ist also ganz einfach!

• Berechne $d$ mit dem Skalarprodukt von Stütz- und Normalenvektor

• Setze die Koordinaten des Normalenvektors für $n_1, n_2$ und $n_3$ ein.

Fertig ;-)

Ein einfaches BeispielSei A mit $(2/3/4)$ ein Punkt in einer Ebene und $\overrightarrow{OA}$ sei somit der Stützvektor der Ebene. Weiterhin sei $\vec{n} = (3/1/4)$ ein Normalenvektor der Ebene.

Abschließende Aufgabe:Unter folgendem Link kannst du noch einmal testen, ob du die Herleitung verstanden hast, indem du die einzelnen Begründungsschritte in die richtige Reihenfolge bringst:

https://learningapps.org/21633860