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Brüche ohne Variable im Zähler

Bei der zweiten Aufgabe der letzen Seite hast du bereits einen Fall gesehen, bei dem die Anwendung der Potenzgesetze von Vorteil ist. Auf den nächsten zwei Seiten findest du nun weitere Situationen, bei denen die Potenzgesetze nützlich sein können.

Negative Exponenten: Quotientenregel umgehen

Nachdem du zu Beginn des Kurses wiederholt hast, wie man richtig mit Klammern umgeht, solltest du mit der Quotientenregel zwar keine Probleme mehr haben, trotzdem kannst du dir manchmal ein wenig Arbeit sparen, wenn du das Potenzgesetz %%\frac 1 {x^r}= x^{-r}%% anwendest.

Leite die Funktion %%f(x)= \frac 3 {x^2}%% einmal mithilfe der Quotientenregel und einmal unter Verwendung der Potenzgesetze ab.

Quotientenregel

Potenzgesetz

%%f(x)= \frac 3 {x^2}%%

%%f(x)= \frac 3 {x^2}=3x^{-2}%%

%%f'(x)= \dfrac {0\cdot x^2-2x\cdot 3}{(x^2)^2}%%

%%f'(x)=-6x^{-3}%%

%%f'(x)=\dfrac{-6x}{x^4}%%

%%f'(x)=-\dfrac {6}{x^3}%%

%%f'(x)= -\dfrac 6 {x^3}%%

Achtung!
Dieser Trick macht das Ableiten nur einfacher, wenn im Zähler kein %%x%% vorkommt, sonst braucht man zwar nach dem Umschreiben trotzdem keine Quotientenregel, dafür aber Produkt und Kettenregel!

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