%%f\left(x\right)=x^3-3x^2-24x+6%%

%%f\left(x\right)=x^3-3x^2-24x+6%%

Die Funktion %%f%% ist ein Polynom und daher (beliebig oft) differenzierbar. Du kannst daher die erste Ableitung von %%f%% berechnen um das Monotonieverhalten zu bestimmmen.

%%f'(x)=%%

%%3x^2-6x-24=%%

%%3\cdot\left(x^2-2x-8\right)%%

Die erste Ableitung ist also erneut ein Polynom.

Berechne nun die Nullstellen von %%f'%%.

%%f'(x) = 0%%

Setze die Funktionsgleichung von %%f'%% ein.

%%\Leftrightarrow 3\cdot\left(x^2-2x-8\right)=0%%

Teile beide Seiten der Gleichung durch %%3%%.

%%\Leftrightarrow x^2-2x-8=0%%

Die linke Gleichungsseite ist durch ein Polynom zweiten Grades gegeben. Es hat also höchstens zwei reelle Nullstellen. Durch Anwendung der Mitternachtsformel erhältst du

$$\begin{align}x&=\frac22 \pm \sqrt{(\frac22)^2 - (-8)}\\&= 1 \pm \sqrt{1+8}\\&=1 \pm \sqrt{9}\\&=1 \pm 3\in \{-2, 4\}\end{align}$$

Dies sind zwei reelle Nullstellen und daher genau die Lösungen der Gleichung.

%%\Leftrightarrow x \in \{-2, 4\}%%

Da %%f'%% nur diese Nullstellen hat und als Polynom insbesondere reellwertig, auf ganz %%\mathbb{R}%% definiert und stetig ist, kannst du den Zwischenwertsatz verwenden.

Betrachte die Intervalle

%%I_1 = ]- \infty, -2[=\{x \in \mathbb{R} | x < -2\}%%

%%I_2 = ]-2, 4[=\{x \in \mathbb{R} | -2 < x < 4\}%%

%%I_3 = ]4, +\infty[=\{x \in \mathbb{R}|x > 4\}%%,

die zwischen den Nullstellen von %%f'%% liegen.

Wähle beispielsweise

%%x_1=-3 \in I_1%%

%%x_2=3 \in I_2%%

%%x_3=5 \in I_3%%

Setze diese in %%f'%% ein.

%%f'(x_1)=f'(-3)=3\cdot\left((-3)^2-2\cdot(-3)-8\right)=3\cdot(9+6-8)=3 \cdot 7 = 21>0%%

%%f'(x_2)=f'(3)=3\cdot\left(3^2-2\cdot3-8\right)=3\cdot(9-6-8)=3 \cdot (-5) = -15<0%%

%%f'(x_3)=f'(5)=3\cdot\left(5^2-2\cdot5-8\right)=3\cdot(25-10-8)=3 \cdot 7 = 21>0%%

Somit gilt %%f'(x) \begin{cases}>0 : x \in \text{ } ]-\infty, -2[\\<0 : x \in \text{ } ]-2,4[ \\>0 : x \in \text{ } ]4,+\infty[ \\ =0: \text{sonst}\end{cases}%%

womit %%G_f%% auf %%]-\infty, -2]%% und %%[4,+\infty[%% streng monoton wächst, sowie auf %%[-2,4]%% streng monoton fällt.

Plot des Polynoms dritten Grades