%%f\left(x\right)=3x^4+8x^3-48x^2+3%%

%%f\left(x\right)=3x^4+8x^3-48x^2+3%%

Die Funktion %%f%% ist ein Polynom und daher (beliebig oft) differenzierbar. Du kannst daher die erste Ableitung von %%f%% berechnen um das Monotonieverhalten zu bestimmen.

$$\begin{align}f'(x)&=12x^3+24x^2-96x\\&=12x\cdot(x^2+2x-8)\end{align}$$

Die erste Ableitung ist also erneut ein Polynom.

Berechne nun die Nullstellen von %%f'%%.

%%f'(x) = 0%%

Setze die Funktionsgleichung von %%f'%% ein.

%%\Leftrightarrow 12x \cdot (x^2+2x-8)=0%%

Teile beide Seiten der Gleichung durch %%12%%.

%%\Leftrightarrow x \cdot (x^2+2x-8) = 0%%

Die linke Gleichungsseite ist durch ein Polynom dritten Grades gegeben. Es hat also höchstens drei reelle Nullstellen.

Die linke Seite der Gleichung ist genau dann gleich %%0%%, wenn mindestens einer der beiden Faktoren gleich %%0%% ist. Dadurch kannst du sofort die Nullstelle bei %%x=0%% ablesen.

Im zweiten Fall könnte %%x^2+2x-8%% gleich %%0%% sein.

Durch Anwendung der Mitternachtsformel erhältst du

$$\begin{align}x&=-\frac22 \pm \sqrt{(\frac22)^2 - (-8)}\\&= -1 \pm \sqrt{1+8}\\&=-1 \pm \sqrt{9}\\&=-1 \pm 3 \in \{-4, 2\}\end{align}$$

Somit sind alle drei Nullstellen von %%f'%% reell.

%%\Leftrightarrow x \in \{-4, 0, 2\}%%

Da %%f'%% nur diese Nullstellen hat und als Polynom insbesondere reellwertig, auf ganz %%\mathbb{R}%% definiert und stetig ist, kannst du den Zwischenwertsatz verwenden.

Betrachte die Intervalle

%%I_1 = ]- \infty, -4[=\{x \in \mathbb{R} | x < -4\}%%

%%I_2 = ]-4, 0[=\{x \in \mathbb{R} | -4 < x < 0\}%%

%%I_3 = ]0,2[ = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x < 2\}%%

%%I_4 = ]2, +\infty[=\{x \in \mathbb{R} | x > 2\}%%,

die zwischen den Nullstellen von %%f'%% liegen.

Wähle beispielsweise

%%x_1=-5 \in I_1%%

%%x_2=-1 \in I_2%%

%%x_3=1 \in I_3%%

%%x_4=3 \in I_4%%

Setze diese in %%f'%% ein.

$$f'(x_1)=f'(-5)=12\cdot(-5) \cdot ((-5)^2+2(-5)-8)=\underbrace{(-60)}_{<0}\cdot\underbrace{(25-18)}_{>0}<0$$

$$f'(x_2)=f'(-1)=12\cdot(-1) \cdot ((-1)^2+2\cdot(-1)-8)=\underbrace{(-12)}_{<0}\cdot\underbrace{(1-2-8)}_{<0}>0$$

$$f'(x_3)=f'(1)=12 \cdot (1+2-8)=12\cdot(-5)=-60<0$$

$$f'(x_4)=f'(3)=12\cdot3 \cdot (3^2+2\cdot3-8)=36\cdot(9+6-8)=36\cdot7>0$$

Somit gilt %%f'(x) \begin{cases}<0 : x \in \text{ } ]-\infty, -4[\\>0 : x \in \text{ } ]-4,0[ \\<0 : x \in \text{ } ]0,2[ \\ >0 : x \in \text{ } ]2, +\infty[ \\ =0: \text{sonst}\end{cases}%%

womit %%G_f%% auf %%[-4,0]%% und %%[2, +\infty[%% streng monoton wächst, sowie auf %%]-\infty, -4]%% und %%[0,2]%% streng monoton fällt.

Plot des Polynom vierten Grades