%%f\left(x\right)=\frac{2x^2}{2x-1}%%

 

%%f\left(x\right)=\frac{2x^2}{2x-1}%%

 

Die Funktion %%f%% ist ein Quotient zweier Polyonme, du kannst daher die erste Ableitung mit der Quotientenregel berechnen um das Monotonieverhalten zu bestimmen.

  %%f'\left(x\right)=\frac{4x\cdot\left(2x-1\right)-2x^2\cdot2}{\left(2x-1\right)^2}%%

%%=\frac{8x^2-4x-4x^2}{\left(2x-1\right)^2}=\frac{4x^2-4x}{\left(2x-1\right)^2}%%

 

Nullstelle von %%\mathrm f'\left(\mathrm x\right)%% (also Extrema von %%f\left(x\right)%% ) berechnen:  %%\mathrm f'\left(\mathrm x\right)=0%%

Die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion sind gleichzeitig die Nullstellen des Zählers. %%\mathrm f'\left(\mathrm x\right)=0\;\;\Leftrightarrow\;\;4x^2-4x=0%%

Vereinfache diesen Ausdruck:

%%4x^2-4x=4x\left(x-1\right)%%

Nun kann man ganz leicht die Nullstellen der 1. Ableitung (die Extrema von %%f\left(x\right)%% ) ablesen.

Hier wird nun der Weg mit der Monotonietabelle gewählt, da die 2. Ableitung relativ kompliziert ist. Man muss allerdings bei der Monotonietabelle die Polstellen der Funktion beachten.

%%4x\left(x-1\right)=0\;\;\Leftrightarrow\;\;4x=0\;\text{oder}\;\left(x-1\right)=0%%

%%\Rightarrow%% %%x_1=0%% und %%x_2=1%%

Berechnen der Polstelle . Suche also die Nullstellen des Nenners von %%f\left(x\right)%% . (Übrigens haben %%f\left(x\right)%% und %%f'\left(x\right)%% immer dieselben Polstellen.)

%%2x-1=0%%

%%2x=1%%

%%x_{Polstelle}=\frac12%%

Faktorisiere nun die 1. Ableitung.

%%f`\left(x\right)=\frac{4x\cdot\left(x-1\right)}{\left(2x-1\right)^2}%%

Erstelle eine Vorzeichentabelle.

Achtung: Polstelle nicht vergessen!

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6562_U5wykofXEI.xml

Nun kann man aus der Vorzeichentabelle das Monotonieverhalten ganz einfach ablesen. Steht in der letzten Zeile ein Minus ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend, steht dort ein Plus ist die Funktion streng monoton steigend.

%%\rbrack-\infty;0\rbrack%%: %%\rightarrow G_f%% ist streng monoton steigend

%%\lbrack0;\frac12\lbrack%%: %%\;\;\;\;%% %%\rightarrow G_f%% ist streng monoton fallend

%%\rbrack\frac12;1\rbrack%%: %%\;\;\;\;%% %%\rightarrow G_f%% ist streng monoton fallend

%%\lbrack1;\infty\lbrack:\;\;\;\;\;\rightarrow G_f%% ist streng monoton steigend

Achtung:

Man darf die beiden Intervalle %%\lbrack0;\frac12\lbrack%%   und  %%\rbrack\frac12;1\rbrack%%   nicht zu einem Intervall %%\lbrack0;1\rbrack%% zusammenlegen, da die Funktion und damit die Monotonie an dem Wert %%\frac12%% nicht definiert ist.