%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}%%    und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{c}2=2\lambda\\1=2\lambda\\-3=-5\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=1\\\lambda=0,5\\\lambda=0,6\end{array}\right.%%

Da alle %%\lambda%% unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear unabhängig

 

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.

%%\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}%%

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.

%%\left|\begin{array}{c}1+2s=-1+2t\;\\-2+s=-2+2t\;\\1-3s=2-5t\end{array}\begin{array}{l}\left|\left|\;-1\;\;\;\mid:2\right.\right.\\\left|\left|\;+2\right.\right.\\\left|\left|\;-1\right.\right.\end{array}\right.%%

Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.

%%\left|\begin{array}{l}s=-1+t\\s=2t\\-3s=1-5t\end{array}\right.%%

Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert t.

Diesen Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und erhält s.

%%\begin{array}{l}2t=-1+t\;\;\;\left|\left|-t\right.\right.\\t=-1\\s=-2\end{array}%%

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

%%\begin{array}{c}1-3s\;=\;2-5t\\1-3\cdot(-2)\;=\;2-5\cdot(-1)\\7\;=\;7\end{array}%%

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Diesen ermittelt man, indem man eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}%%

 %%\Rightarrow\;S=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+(-2)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}%%

%%=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}-3\\-4\\7\end{pmatrix}%%

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.