%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}%%   und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}=\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das t.

%%\;\left|\begin{array}{c}-1=2\mathrm t\\1=-2\mathrm t\\3=-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-0,5\\\mathrm t=-0,5\\\mathrm t=-0,5\end{array}\right.%%

Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

%%\Rightarrow\;\;%% linear abhängig

%%\Rightarrow\;\;%% Nun weißt man, dass die beiden Geraden identisch oder parrallel sind.

Einsetzen

 

Ortsvektor von g: %%\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}%%

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.

%%\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}%%

Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.

%%\left|\begin{array}{c}-2=1+2\mathrm t\\1=-3-2\mathrm t\\1=2-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=-1,5\\\mathrm t=-2\\\mathrm t=0,167\end{array}\right.%%

Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, ist der Ortsvektor von g nicht auf der Gerade h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

%%\Rightarrow\;%% %%\mathrm h\parallel\mathrm g%%