%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}%%   und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}%%    %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\left|\begin{array}{c}0=-1\lambda\\-2=\lambda\\1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=0\\\lambda=-2\\\lambda=0,5\end{array}\right.%%         

Da alle %%\lambda%% unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear unabhängig

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.

%%\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}%%

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.

%%\begin{array}{rcrl}2&=&1-t & \mid\mid +t-2 \\ -1 -2s & = & t \\ 3 + s & = & -2 +2t & \mid\mid-3 \end{array}%%

Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Diesen Wert kann man dann in die zweite Gleichung einsetzten und erhält so den Wert für s.

%%\begin{array}{rcrl}t&=&-1 & \; \\ -1 -2s & = & -1 & \mid\mid+1 \;\mid(-2)\\ s & = & 0 \end{array}%%

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

%%\begin{array}{l}3+s\\3+0\\3\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{l}-2+2t\\-2+2\cdot(-1)\\-4\end{array}%%

Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.

%%\Rightarrow\;\;%% g und h sind windschief zueinander