%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}%%         und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda \cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{c}2=-4\lambda\\3=-6\lambda\\1=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-0,5\\\lambda=-0,5\\\lambda=-0,5\end{array}\right.%%

Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear abhängig

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

 

Ortsvektor von g: %%\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dazu der Ortsvektor verwendet.

%%\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

%%\left|\begin{array}{c}7=1-4t\\-2=-6t\\2=3-2t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}t =-1,5\\t=0,33\\t=0,5\end{array}\right.%%

Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, ist der Ortsvektor von g nicht auf der Gerade h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

%%\Rightarrow\;\;%% %%\mathrm h\parallel\mathrm g%%