%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}%%         und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\left|\begin{array}{c}1=-4\lambda\\1=-6\lambda\\2=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=-0,25\\\lambda=-0,167\\\lambda=-1\end{array}\right.%%         

Da alle %%\lambda%% unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.

%%\Rightarrow\;\;%% linear unabhängig

%%\Rightarrow\;\;%% Nun weiß man, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.

%%\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}%%

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

%%\begin{array}{|rcrr} 4 + s & = & 1-4t & \mid\mid -4 \\ -6 + s & = & -6t & \mid\mid +6 \\ -1 +2s & = & 3 - 2t & \; \end{array}%%

Die ersten beiden Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Diese setzt man dann gleich und erhält den Wert für t. Den setzt man dann in eine der beiden Gleichungen ein und bekommt s.

%%\begin{array}{rcrl} s & = & -3-4t & \; \\ s & = & 6-6t & \; \\ -3-4t & = & 6-6t & \mid\mid+3+6t \\ 2t& = & 9 & \mid\mid:2 \\ t & = & 4.5 \\ s & = & =-21 \end{array}%%

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

%%\begin{array}{l}-1+2s\\-1+2\cdot(-21)\\-43\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{r}3-2t\\3-2\cdot4,5\\-6\end{array}%%

Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.

%%\Rightarrow\;%% g und h sind windschief zueinander