%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}%%         und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{c}-1=-3\lambda\\7=21\lambda\\2=6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=0,33\\\lambda=0,33\\\lambda=0,33\end{array}\right.%%

Da alle %%\lambda%% den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear abhängig

%%\Rightarrow\;\;%% Nun weiß man, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

 

Ortsvektor von g: %%\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}%%

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dafür der Ortsvektor genommen.

%%\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}%%

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

%%\left|\begin{array}{c}2=1-3\mathrm t\\3=10+21\mathrm t\\0=2+6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-0,33\\\mathrm t=-0,33\\\mathrm t=-0,33\end{array}\right.%%

Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.

Also sind die beiden Geraden identisch.

%%\Rightarrow\;\;%% %%\mathrm h=\mathrm g%%