%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}%%         und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}%%

Schreib dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{l}2=\lambda\\3=\lambda\\1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=2\\\lambda=3\\\lambda=0,5\end{array}\right.%%

Da alle %%\lambda%% unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear unabhängig

 

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.

%%\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}%%

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

%%\begin{array}{|rcr}7+2s & = & 4 + t & \mid\mid -4 \\ -2 + 3s & = & -6 +t & \mid\mid +6 \\ 2+s & = & -1+2t & \; \end{array}%%

Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach t auflösen.

%%\begin{array}{|rcl}3+2s & = & t & \\ 4 + 3s & = & t & \\ 2+s & = & -1+2t & \; \end{array}%%

Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert s.

Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.

%%\begin{array}{l}3+2s=4+3s\;\;\;\left|\left|-2s-4\right.\right.\\s=-1\\t=1\end{array}%%

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

%%\begin{array}{l}2+s\;=\;-1+2t\\2+(-1)\;=\;-1+2\\1\;=\;1\end{array}%%

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzst.

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}%%

%%\;\Rightarrow\;S=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+(-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-5\\1\end{pmatrix}%%

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.