%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}%%         und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}%%

Schreib diese aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{c}9=-6\lambda\\-3=2\lambda\\6=-4\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-1,5\\\lambda=-1,5\\\lambda=-1,5\end{array}\right.%%

Da alle %%\lambda%% den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear abhängig

%%\;\Rightarrow\;\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

 

Ortsvektor von g: %%\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}%%

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dazu wird meist der Ortsvektor genommen.

%%\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}%%

Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.

%%\left|\begin{array}{c}2=-4-6\mathrm t\\2=4+2\mathrm t\\1=-3-4\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\end{array}\right.%%

Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.

Also sind die beiden Geraden identisch.

%%\Rightarrow\;\;%% %%\mathrm h=\mathrm g%%