%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%    und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}%%

%%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{c}1=-2\lambda\\-2=4\lambda\\1=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-0,5\\\lambda=-0,5\\\lambda=-0,5\end{array}\right.%%

Da alle %%\lambda%% den selben Wert haben, sind die Vektoren linear abhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear abhängig

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

Ortsvektor von g: %%\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}%%

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.

%%\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}%%

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

%%\left|\begin{array}{c}2=1-2\mathrm t\\-1=3+4\mathrm t\\2=-1-2\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=-0,5\\\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1,5\end{array}\right.%%

Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, ist der Ortsvektor von g nicht auf der Gerade h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

%%\Rightarrow\;%% %%\mathrm h\parallel\mathrm g%%