%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}%%    und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{l}2=\lambda\\1=-2\lambda\\-1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=2\\\lambda=-0,5\\\lambda=-0,5\end{array}\right.%%

Da die %%\lambda%% unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear unabhängig

 

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.

%%\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}%%

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.

%%\begin{array}{|rcrc}2+2s & = & 3 + t & \mid\mid -2 \\ 2 + s & = & -2t & \mid\mid -2 \\ -3-s & = & -1 +2t & \; \end{array}%%

Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.

%%\left|\begin{array}{c}2s=1+t\;\\s=-2-2t\;\\-3-s=-1+2t\end{array}\right.%%

Setze dann die zweite Gleichung in die erste ein, damit erhält man den Wert t.

Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte s.

%%\begin{array}{rcr}2 \cdot (-2-2t) & = & 1+t \\ -4-4t & = & 1+t \\ t & = & -1 \\ s&=&0 \end{array}%%

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

%%\begin{array}{c}-3-s\;=\;-1+2t\\-3\;=\;-1-2\\-3\;=\;-3\end{array}%%

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichungen einsetzt.

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}%%

%%\Rightarrow\;S=\;\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}%%

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.