%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}%%   und         %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und dabei merkst du, dass die Gleichung gar keine Lösung haben kann, da die dritte Zeile einen Wiederspruch beinhaltet. Deshalb sind die Vektoren linear unabhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear unabhängig

%%\Rightarrow\;\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.

%%\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}%%

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.

%%\begin{array}{|cccc} 1+s & = & 14 +2t \\ -3 +2s & = & 4 - 3t \\ 2-3s & = & 3 \end{array}%%

%%\begin{array}{c} \phantom{1} \\ \; \\ \mid\mid -2 \;\;\mid :(-3) \end{array}%%

Die letzte Zeile lässt sich schnell nach s auflösen. Setze diesen Wert dann in die erste Gleichung ein und erhalte t.

%%\begin{array}{ccc} -3s & = & 1 \\ s & = & -0,33 \\ \mathrm{in \; I:}\\ 1+s & = & 14 + 2t \\ 1-0,33 & = & 14 +2t \\ t & = & -6,66 \end{array}%%

%%\begin{array}{c} \phantom{1}\\ \phantom{1}\\ \phantom{1}\\\phantom{1} \\ \mid\mid -14 \mid :2 \\ \end{array}%%

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die zweite Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die zweite Gleichung ein.

%%\begin{array}{c}-3+2s\\-3+2\cdot(-0,33)\\-3,66\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{c}4-3t\\4-3\cdot(-6,66)\\24\end{array}%%

Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.

%%\Rightarrow\;%% g und h sind windschief zueinander