%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}%%  und   %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-7\\1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-7\\1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{c}1=-3\lambda\\-3=9\lambda\\2=-6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-0,33\\\lambda=-0,33\\\lambda=-0,33\end{array}\right.%%

Da alle %%\lambda%% den selben Wert haben, sind die Vektoren linear abhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear abhängig

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

 

Ortsvektor von g: %%\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}%%

%%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-7\\1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}%%

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.

%%\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-7\\1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}%%

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

%%\left|\begin{array}{c}2=4-3\lambda\\-1=-7+9\lambda\\-3=1-6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm \lambda=0,66\\\lambda=0,66\\\lambda=0,66\end{array}\right.%%

Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.

Also sind die beiden Geraden identisch.

%%\Rightarrow\;%% %%\mathrm h=\mathrm g%%