%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}%%  und %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}%%

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}%% %%\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}%%

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

%%\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}%%

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das %%\lambda%%.

%%\;\left|\begin{array}{c}-4=-4\lambda\\-2=-4\lambda\\6=10\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-1\\\lambda=0,5\\\lambda=0,6\end{array}\right.%%

Da alle %%\lambda%% unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.

%%\Rightarrow\;%% linear unabhängig

 

%%\Rightarrow\;%% Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.

%%\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}%%

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

%%\begin{array}{|rcrc} 1-4s & = & -1-4t & \mid\mid +1 \\ -2-2s & = & -2-4t & \mid\mid +2 \\ 1+6s & = & 2+10t \\ \end{array}%%

Die ersten beiden Gleichungen lassen sich schnell nach -4t umformen.

%%\begin{array}{|rcr} 2-4s & = & -4t \\ -2s & = & -4t \\ 1+6s & = & 2+10t \\ \end{array}%%

Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhälst du den Wert s.

Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.

%%\begin{array}{l}2-4s=-2s\;\;\;\left|\left|+4s\;\;\left|:2\right.\right.\right.\\s=1\\t=0,5\end{array}%%

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

%%\begin{array}{l}1+6s=2+10t\\1+6=2+5\\7=7\end{array}%%

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichungen einsetzt.

%%\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}%%

 

%%\;\Rightarrow\;S=\;\begin{pmatrix}-3\\-4\\7\end{pmatrix}%%

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.