Von einem radioaktiven Element sind anfangs 20 000 Atomkerne vorhanden, nach 183 Sekunden ist nur noch %%\frac{1}{10}%% davon vorhanden.

Wann ist nur die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

Lösungsstrategie

Zur Lösung dieser Aufgabe bieten sich unter anderem die beiden folgenden Wege an.

  • Lösung mit Hilfe der allgemeinen Formel für Zerfallsprozesse
  • Lösung mit Hilfe der allgemeinen Potenzfunktion

In beiden Fällen müssen zunächst die jeweiligen Funktionsparameter bestimmt werden. Im Anschluss kann anhand der erhaltenen Funktionsterme die Halbwertszeit ermittelt werden.

Lösung mit Hilfe der allgemeinen Formel für Zerfallsprozesse

$$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$$

Verwende die allgemeine Formel für Zerfallsprozesse.

Um die Halbwertszeit bestimmen zu können, benötigst du zunächst die Zerfallskonstante %%\lambda%%.

$$N(183\,\mathrm{s}) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}} = \frac{1}{10} \cdot N_0$$

$$\mid\,: N_0$$

Setze die aus der Aufgabenstellung bekannten Zahlen in die Formel ein. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von %%\lambda%%.

$$e^{-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s}} = \frac{1}{10}$$

$$\mid \ln$$

Wende die Umkehrfunktion der %%e%%-Funktion an.

$$-\lambda \cdot 183\,\mathrm{s} = \ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\ln(10)$$

$$\mid \cdot (-1)$$

Verwende zur Vereinfachung die Rechenregeln des Logarithmus: $$\ln\left(\frac{1}{10}\right) = \ln(10^{-1}) = -\ln(10)$$

$$\lambda \cdot 183\,\mathrm{s} = \ln(10)$$

$$\mid\,:183\mathrm{s}$$

$$\lambda = -\frac{\ln(10)}{183\,\mathrm{s}}$$

Jetzt kennst du die Zerfallskonstante. Bestimme nun die gesuchte Halbwertszeit %%T%%.

$$N(T) = N_0 \cdot e^{\lambda T} = \frac{N_0}{2}$$

$$\mid\,: N_0$$

Hierzu verwende die Definition der Halbwertszeit: nach der Halbwertszeit %%T%% sind noch die Hälfte der Teilchen vorhanden.

$$e^{\lambda T} = \frac{1}{2}$$

$$\mid \ln$$

Wende die Umkehrfunktion der %%e%%-Funktion an.

$$\lambda T = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = - \ln(2)$$

$$\mid\,: \lambda$$

$$T = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\lambda} = (-\ln(2)) \cdot \left(-\frac{183\,\mathrm{s}}{\ln(10)}\right) \approx 55.088\,\mathrm{s}$$

Lösung mit Hilfe der allgemeinen Potenzfunktion

Gegenstand der Aufgabe ist es, die Halbwertszeit des vorliegenden radioaktiven Elements zu ermitteln. Dazu benötigst du in dieser Lösungsvariante die allgemeine Potenzfunktion, deren Gleichung %%N(t)=b\cdot a^t%% lautet.

Ausgangssituation

%%\begin{array}{crll}N(0)&=&b\cdot a^0\\20000&=&b\cdot a^0\end{array}%%

Anfangs (t=0) sind N(0)=20000 Kerne vorhanden

%%b=20000%%

Da %%a^0=1%%, ist nun der Wert des Parameters %%b%% bekannt.

Situation nach 183 Sekunden

%% \begin{array}{crcl} N(183)&=&20000\cdot a^{183}\\ \frac{1}{10}\cdot N(0) &=& 20000\cdot a^{183} \end{array}%%

Nach 183 Sekunden existieren noch %%\frac{1}{10}%% der anfangs vorhanden Kerne. Also: %%N(183)=\frac{1}{10}\cdot N(0)%%

%%\begin{array}{crll} 2000&=&20000\cdot a^{183}\\ 0,1&=&a^{183}\\ a&=&\sqrt[183]{0,1}\\ &\approx&0,987 \end{array}%%

Löse die Gleichung nach Parameter dem %%a%% auf.

Resultierender Funktionsterm

Nachdem du die Werte der beiden Parameter bestimmt hast, kennst du nun den Funktionsterm, der die Anzahl der noch vorhandenen Kerne in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt. $$N(t)=20000\cdot 0,987^t$$

Bestimmung der Halbwertszeit

Du suchst nun die Zeit T, zu der die Anzahl noch der vorhandenen Kerne genau halb so groß ist wie jene zu Beginn. Es gilt also: $$N(T)=\frac{1}{2}\cdot N(0)$$

%% \begin{array}{crcl} N(T)&=&\frac{1}{2}\cdot N(0)\\ 20000\cdot 0,987^T &=& \frac{1}{2} \cdot 20000\cdot 0,987^0 \end{array}%%

Verwende den zuvor ermittelten Funktionsterm %%N(t)%%

%%\begin{array}{crll} 0,987^T&=&\frac{1}{2}\cdot 0,987^0\\ 0,987^T&=&\frac{1}{2}\\ T&=&\frac{\log{\frac{1}{2}}}{\log{0,987}}\\ T&=&52,97 \end{array}%%

Löse nach %%T%% auf.

Ergebnis

Die Halbwertszeit beträgt also %%T=52,97%% Sekunden.

Bemerkung

Das in dieser Variante ermittelte Ergebnis weicht deshalb von dem der alternativen Aufgabenlösung (siehe oben) ab, weil du mit dem gerundeten Wert %%0,987%% für den Parameter %%a%% weitergerechnet hast. Bei Verwendung des ungerundeten Zwischenergebnisses %%a=\sqrt[183]{0,1}%% erhältst du analog zum obigen Lösungsvorschlag eine Halbwertszeit von %%T=\frac{\log{\frac{1}{2}}}{\log{\sqrt[183]{183}}}=55,088%% Sekunden.