%%f(x)=\frac{x-3}{\ln( x-3)}%%

Wertebereich bestimmen

%%f(x)=\frac{x-3}{\ln(x-3)}%%

Bestimme den Definitionsbereich.

%%D_f=\left]\;3; \;\infty \right[\;\backslash\;\{4\}%%

Bestimme die Grenzwerte.

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow0}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow-\infty}}=0%%

Für den zweiten Grenzwert nutzt du aus, das der Logarithmus immer langsamer wächst als jedes Polynom.

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow\infty}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow\infty}}=\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^-}}=-\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^+}}=+\infty%%

Bestimme jetzt die Extrema.

%%f'(x)=\dfrac{\ln(x-3)-\frac{x-3}{x-3}}{(\ln(x-3))^2}%%

%%f'(x)=0%%

%%\Leftrightarrow \ln(x-3)-1=0%%

%%\mid +1%%

%%\Leftrightarrow \ln(x-3)=1%%

%%\mid e%%

%%\Leftrightarrow x-3 = e%%

%%\mid +3%%

%%\Leftrightarrow x=e+3%%

Bestimme jetzt den y-Wert.

%%f\left(e+3\right)=e%%

Da dies das einzige Extremum ist und die beiden Grenzwerte an den jeweiligen Definitionslücken rechts und links davon (also %%4^+%%und%%\;\infty%%) jeweils %%\infty%% sind, ist das Extremum ein Minimum.

Gib jetzt den Wertebereich an.

%%W_f=\left]-\;\infty; 0\;\right[\cup\left[\;e;\;\infty\right[%%