In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden.

Die Wahrscheinlichkeiten 2,3,4,5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich 0 oder 1 weiße Kugel zu ziehen.

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten.

Du ziehst ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße %%\text X%% kombinatorisch berechnen.

  • %%\displaystyle\text P(\text X=2)=\frac{\binom82\cdot\binom44}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=3)=\frac{\binom83\cdot\binom43}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=4)=\frac{\binom84\cdot\binom42}{\binom{12}6}=\frac{15}{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=5)=\frac{\binom85\cdot\binom41}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=6)=\frac{\binom86\cdot\binom40}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.

Benutze nun die Formel für den Erwartungswert.

%%\displaystyle\text E(\text X)=\sum\limits_{k=2}^{6} k\cdot \text P(\text X=k)%%

Setze die Werte ein.

%%\displaystyle=2 \cdot \frac{1}{33} + 3 \cdot \frac{8}{33} + 4 \cdot \frac{15}{33} + 5 \cdot \frac{8}{33} + 6 \cdot \frac{1}{33}%%

Vereinfache.

%%\displaystyle=\frac{132}{33}=4%%

Beim Ziehen von 6 Kugeln erwartest du also 4 weiße Kugeln zu ziehen.