Berechnen Sie, wie oft man würfeln müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Pasch“ mindestens 99 % beträgt.

Berechne Wahrscheinlichkeit

Definiere Ereignisse

Definiere zunächst das Ereignis, das in der Aufgabenstellung beschrieben wird.

  • Ereignis %%(A, n)%%: Es fällt bei %%n%% Würfen mindestens ein Pasch.
  • Ereignis %%(\overline A, n)%% : Es fällt bei %%n%% Würfen kein Pasch. (Gegenereignis)

Berechne Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf ein Pasch auftritt, ist %%P(\text{Pasch bei einem Wurf}) = \frac{1}{6}.%%
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf kein Pasch auftritt, ist %%P(\overline{\text{Pasch bei einem Wurf}}) = \frac{5}{6}.%%

Nenne die Anzahl der Würfe %%n%%. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei %%n%% Würfen kein einziger Pasch auftritt ist %%P(\overline A, n) = \left( \frac{5}{6}\right)^n%%.

%%P(A, n) \stackrel{!}{\geq} 0,99%%

Schreibe die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis.

%%P(\overline A, n) \stackrel{!}{<} 0,01%%

Setze den Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit ein.

%%\left( \frac{5}{6}\right)^n \stackrel{!}{<} 0,01%%

Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.

%%\ln \left( \left( \frac{5}{6}\right)^n\right) \stackrel{!}{<} \ln0,01%%

Verwende Potenzregel.

%%n \cdot \ln \left( \frac{5}{6}\right) \stackrel{!}{<} \ln 0,01%%

Löse nach %%n%% auf. Beachte dabei, dass %%ln(\frac56)%% eine negative Zahl ist, und du deswegen das Ungleichheitszeichen umdrehen musst. Genauer erklärt ist dies im Artikel Ungleichungen lösen.

%%n \stackrel{!}{>} \frac{\ln 0,01}{\ln \left( \frac{5}{6}\right)} = 25.26%%

Ergebnis

Man muss mindestens 26 mal würfeln.