Definitionsbereich und Art der Definitionslücken bestimmen.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist der Zahlenbereich, der für die Funktion zulässig ist. Um ihn zu bestimmen gehst du von den reellen Zahlen %%\mathbb{R}%% aus und überprüfst alle Möglichkeiten für Problemstellen, die dann von %%\mathbb{R}%% ausgeschlossen werden.

Wurzelfunktionen

Wert unter der Wurzel darf nicht negativ sein

nicht vorhanden

Logarithmus-Funktion

Wert im Logarithmus muss positiv sein

Logarithmus vorhanden: %%\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)%%

%%{\begin{array}{cccc}&\left(\mathrm x-1\right)^2&>&0\\\Leftrightarrow&\mathrm x-1&\neq&0\\\Leftrightarrow&\mathrm x&\neq&1\end{array}}%%

Da Quadratische Funktionen nichtnegativ sind, musst du nur ausschließen, dass der Term 0 wird. Das passiert aber nur für %%x = 1%%.

Brüche

Nenner darf nicht 0 sein

Nenner vorhanden: %%1+\mathrm{x}%%


%%\begin{array}{crcl}&1+\mathrm x&=&0\\\Leftrightarrow&\mathrm x&=&-1\end{array}%%

Zum Überprüfen der kritischen Stelle 0 setzt du den Nenner 0.

Diesen Wert nimmt er nur für %%x = -1%% an.

%%\Rightarrow{\mathrm D}_\mathrm f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;\;1\right\}%%

Art der Definitionslücken

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Behebbare und nicht behebbare.

Behebbare Definitionslücken liegen dann vor, wenn die Funktion an jenen Stellen stetig fortsetzbar sind. Das ist zum Beispiel bei Brüchen der Fall, wenn die Nennernullstelle zugleich eine Zählernullstelle ist.

Definitionslücke %%-1%% ist behebbar

Um das zu überprüfen setzt du die oben bestimmte Nennernullstelle in den Zähler ein:

%%\begin{align} \left(2\left(-1\right)^2-2\right)&\cdot\ln\left(\left(\left(-1\right)-1\right)^2\right)\\ &=0\cdot\ln\left(4\right)=0\end{align} %%

Die Nennernullstelle %%-1%% ist also eine Zählernullstelle und damit eine behebbare Definitionlücke.

Definitionslücke %%1%% ist behebbar

Als nächstes willst du die Art der Definitionslücke von %%1%% herausfinden. Dabei kannst du nicht analog zu oben argumentieren, da in diesem Fall die Lücke durch die Logarithmusfunktion verursacht wird.

Du musst zeigen, dass die Funktion an der Stelle %%1%% entweder stetig fortsetzbar ist oder nicht.

Durch linksseitige und rechtsseitige Grenzwertbildung an der Stelle %%1%% erhältst du ein hinreichendes Kriterium: Falls die Funktion von rechts und von links an die %%1%% angenähert den selben endlichen Wert annehmen, dann ist die Funktion stetig fortsetzbar und damit eine behebbare Definitionslücke.

Du überprüfst:

$$\underset{ x\rightarrow 1+} \lim f(x) = \underset{ x\rightarrow 1+} \lim \frac{\overset{=0}{\left(2\mathrm x^2-2\right)}\cdot\overset{= - \infty}{\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)}}{\underset{=2}{1+\mathrm x}} \overset{\text{Polynom stärker}}{\underset{\text{als Logarithmus}}{=}} 0$$

Alternativ kannst du auch mit den Regeln von Regeln von L'Hospital argumentieren.

Analog gilt: $$\underset{ x\rightarrow 1-} \lim f(x) = 0$$

Es folgt insgesamt, dass %%1%% ebenfalls eine behebbare Definitionslücke ist.