Grenzwertbetrachtungen

Grenzwerte von Funktionen werden immer an den Rändern des Definitionsbereichs bestimmt. Dazu zählen Grenzen im Unendlichen, Intervallgrenzen und die Definitionslücken, also jeder Punkt, der nicht in einem Intervall des Definitionsbereichs liegt.

Der Definitionsbereich lautet %%D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;1\right\}%%

Die Ränder sind also %%-\infty;-1;1;\infty%%

Grenzwert im Unendlichen

%%\displaystyle\begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow -\infty} f\left( x\right) &=\lim_{ x\rightarrow-\infty}2 \underbrace{\left( x-1\right)}_{\rightarrow -\infty} \underbrace{\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)}_{\rightarrow\infty}=-\infty \end{array}%%

Ein Faktor geht gegen %%-\infty%% , einer gegen %%+\infty%% . Da minus mal plus minus ergibt und %%\infty \cdot \infty=\infty%% , ist der Grenzwert %%-\infty%% .

%%\displaystyle{\lim_{ x\rightarrow\infty} f\left( x\right)=\lim_{ x\rightarrow\infty}2\underbrace{\left( x-1\right)}_{\rightarrow\infty}\underbrace{\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)}_{\rightarrow\infty}=\infty}%%

Der Grenzwert ist eindeutig %%\infty%%

Grenzwert an den Definitionslücken

%%\displaystyle\begin{array}{rcl}\lim_{ x\rightarrow-1^-} f\left( x\right)&=&\lim_{ x\rightarrow-1^-}2\left( x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)\\&=&2\cdot\left(-2\right)\cdot\ln\left(4\right)\\&=&-4\cdot\ln\left(4\right)=\lim_{ x\rightarrow-1^+} f\left( x\right)\end{array}%%

Hier musst du nur den Wert einsetzen, da die Definitionslücke behoben wurde und damit die kritsche Stelle einen konkreten Wert liefert. Deshalb ist es auch egal, ob man sich der Stelle von links oder rechts nähert.

%%\displaystyle\begin{array}{rcl}\lim_{\mathrm x\rightarrow1^-}\;\mathrm f\left(\mathrm x\right)&=&\lim_{\mathrm x\rightarrow1^-}\;2\underbrace{\left(\mathrm x-1\right)}_{=0}\underbrace{\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)}_{\rightarrow-\infty}\end{array}%%

Hier erhältst du Produkt aus 0 und %%\infty%% . Da du nicht weißt, wie das Ergebnis lautet, wendest du die Regel von L'Hospital an mit dem Logarithmus im Zähler und %%\frac{1}{2(x - 1)}%% im Nenner.

%%\displaystyle =\begin{array}{l}\lim_{ x\rightarrow1^-}\frac{\overbrace{\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)}^{\rightarrow-\infty}}{\underbrace{\frac{1}{2\left( x-1\right)}}_{\rightarrow-\infty}}\end{array}%%

Du leitest jetzt Zähler und Nenner separat ab.

$$\lim_{ x\rightarrow1^-}\frac{\frac{2\left( x-1\right)}{\left(\mathrm x-1\right)^2}}{-\frac1{2\left(x-1\right)^2}}=\lim_{ x\rightarrow1^-}\frac{-2\left( x-1\right)^2\cdot2\left(x-1\right)}{\left( x-1\right)^2}$$

%%\displaystyle=\lim_{ x\rightarrow1^-}-4\left(x-1\right)=0%%

%%\displaystyle \underset{ \text{L'Hospital}}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=0=\lim_{ x\rightarrow1^+} f\left( x\right)%%

Die Regel von L'Hospital liefert auch hier mit 0 einen konkreten Wert.