Symmetrieverhalten überprüfen

Es gibt zwei Arten von Symmetrie: Achsensymmetrie und Punktsymmetrie

Für einen zu einer Achse %%x = c%% achsensymmetrischen Graphen gilt  %%f\left( c+ x\right)= f\left( c- x\right)%%

Gewöhnlich überprüft man nur Achsensymmetrie zur y-Achse mit %%x = 0%%, also %%f\left(x\right)= f\left(- x\right)%%

Für einen zum Punkt %%(c | d)%% punktsymmetrischen Graphen gilt  %%d- f\left( c- x\right)= -d+ f\left( c+ x\right)%%

Gewöhnlich überprüft man nur Punktsymmetrie zum Ursprung %%(0 | 0)%%, also %%- f\left( x\right)= f\left(- x\right)%%

Da man nicht alle Punkte und Achsen überprüft werden können, prüft man nur Ursprung und y-Achse.

Dabei beginnt man mit %%f ( - x )%% und vergleicht das Aussehen dieser Funktion mit %%f ( x )%% und  %%- f ( x )%%.

Symmetrie zum Ursprung / zur y-Achse

%%\begin{array}{rcl} f\left(- x\right)&=&2\left(- x-1\right)\cdot\ln\left(\left(- x-1\right)^2\right)\\&=&-2\left(x+1\right)\cdot\ln\left(\left( x+1\right)^2\right)\end{array}%%

aber

%%\begin{array}{rcl} -f\left(x\right)&=&-2\left(x-1\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right) \neq f(-x)\\ f(x)&=&2\left(x-1\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)\neq f(-x) \end{array}%%

Deshalb keine Symmetrie zu Ursprung oder y-Achse

Symmetrie zum vermuteten Symmetriezentrum

Soll man aber die Symmetrie zu einem gegebenen Punkt überprüfen oder mit dem Funktionsgraphen das Symmetriezentrum bestimmen, dann kann man auch die allgemeine Formel anwenden müssen.

Mit dem groben Bild des Funktionsgraphen aus der vorigen Aufgabe im Hinterkopf, vermutest du, dass der Graph punktsymmetrisch zum Punkt %%( 1 | 0 )%% sein könnte. Das überprüfst du jetzt.

%%-f\left(1- x\right)=-2\left(1- x-1\right)\cdot\ln\left(\left(1- x-1\right)^2\right)=2 x\cdot\ln\left( x^2\right)%%

und

%%f\left(1+ x\right)=2\left(1+ x-1\right)\cdot\ln\left(\left(1+ x-1\right)^2\right)=2 x\cdot\ln\left( x^2\right)%%

Die beiden Ausdrücke sind identisch, was auf Punktsymmetrie zum Punkt %%( 1 | 0 )%% schließen lässt.

Jetzt sind wir aber noch nicht fertig.

Sehen wir uns den Graphen nochmal an, dann erkennen wir, dass die linke Seite bei x = -1 eine Lücke im Graphen hat, die die rechte Seite nicht hat. Der Graph deckt sich also bei einer Spiegelung nicht immer auf sich selbst. Deshalb keine Symmetrie!