Extrempunkte bestimmen

Extremstellen sind die Stellen des Funktionsgraphen, bei denen der Graph nicht steigt oder fällt.

Die Steigung des Funktionsgraphen berechnet man über die Ableitung der Funktion.

Soll die Steigung 0 sein, so musst du die Ableitung gleich 0 setzen. Damit erhälst du die Lage der Extremstellen.

Lage der Extrempunkte

%%f\left( x\right)=2\left( x-1\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)%%

Für die Ableitung dieser Funktion brauchst du die Produktregel und die Kettenregel .

Bei der Kettenregel leitest du die Funktionen von außen nach innen ab, also zuerst den Logarithmus, dann die quadrierte Klammer und zum Schluss das %%x%%, das als Ableitung 1 liefert.

%%\displaystyle f'\left( x\right)=2\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)+2\left( x-1\right)\cdot\frac{2\left( x-1\right)}{\left( x-1\right)^2}%%

Klammerst du beim zweiten Summanden wieder %%x%% aus kürzen sich die %%( x - 1 )%% - Terme komplett weg und du erhältst:

%%=2\cdot\left(\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)+2\right)%%

Jetzt musst du diesen Ausdruck gleich 0 setzen.

%%\begin{array}{rcll} 2\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)+2\right)&=&0&\vert:2\\ \ln\left(\left( x-1\right)^2\right)+2&=&0&\vert-2\\ \ln\left(\left( x-1\right)^2\right)&=&-2&\vert e\\ \left( x-1\right)^2&=& e^{-2}&\vert\sqrt{}\\ x-1&=&\pm\frac1{ e}&\vert+1\\ x&=&1\pm\frac1{ e}&\end{array}%%

Zuerst kannst du den konstanten Faktor eliminieren, denn 0 : 2 = 0.

Dann musst du die Gleichung nach 0 aufgelösen.

Dazu wird die verschachtelte Funktion auf der linken Seite Schritt für Schritt ausgedünnt, bis nur noch %%x%% übrig bleibt.

Beachte, das durch die Wurzel zwei Vorzeichen in die Gleichung kommen und dass %%\sqrt{ e^{-2}}=\sqrt{\frac{1}{ e^2}}=\frac{1}{ e}%% .

Jetzt hast du die Lage (%%x%% - Werte) der Extrempunkte bestimmt. Beide liegen im Definitionsbereich. Für die %%y%%- Werte musst du nun die erhaltenen %%x%% - Werte in die Funktion %%f(x)%% einsetzen.

Koordinaten der Extrempunkte

%%\displaystyle\begin{array}{rcl} f\left(1-\frac1{ e}\right)&=&2\left(1-{\frac1{ e}}-1\right)\cdot\ln\left(\left(1-{\frac1{ e}}-1\right)^2\right)\\&=&-\frac2{ e}\cdot\ln\left(\frac1{ e^2}\right)=-\frac2{ e}\cdot\left(-2\right)\ln\left( e\right)\\&=&\frac4{ e}\end{array}%%

%%\displaystyle\Rightarrow{\mathrm{EP}}_1\left(1-{\frac1{ e}}\left|\frac4{ e}\right)\right.%%

%%\displaystyle\begin{array}{rcl} f\left(1+\frac1{ e}\right)&=&2\left(1+{\frac1{ e}}-1\right)\cdot\ln\left(\left(1+{\frac{1}{e}}-1\right)^2\right)\\ &=&\frac2{ e}\cdot\ln\left(\frac{1}{ e^2}\right)=\frac2{ e}\cdot\left(-2\right)\ln\left( e\right)\\ &=&-\frac{4}{e} \end{array}%%

%%\displaystyle\Rightarrow{\mathrm{EP}}_2\left(1+{\frac1{ e}}\left|-\frac4{ e}\right)\right.%%

Nachdem du die Koordinaten bestimmt hast, fehlt nur noch die Art der Extempunkte.

Diese lässt sich entweder durch das Überprüfen das Monotonieverhaltens im Definitionsbereich oder durch einsetzen der %%x%% - Werte der Extrema in die 2. Ableitung bestimmen.

Für ein Minimum  %%{x}_\min%% gilt:  %%f'\left({x_\min}^-\right) \lt 0\wedge f'\left({x_\min}^+\right)\gt0%% bzw. meistens %%f''\left(x_\min\right) \gt 0%%.

Für ein Maximum  %%{x}_\max%% gilt: %%f'\left({x_\max}^-\right) \gt 0\wedge f'\left({x_\max}^+\right)\lt 0%% bzw. meistens %%f''\left(x_\max\right) \lt 0%%.

Für einen Terrassenpunkt gilt:  %%f'\left({x_\mathrm{TP}}^-\right)\lt0\wedge f'\left({x_\mathrm{TP}}^+\right)\gt0 \vee f'\left({x_\mathrm{TP}}^-\right)\gt 0 \wedge f'\left({x_\mathrm{TP}}^+\right)\lt0%% bzw. meistens %%f''\left(x_\mathrm{TP}\right) = 0 \wedge f'''\left(x_\mathrm{TP}\right) \neq 0%%.

Für eine Erklärung der Zeichen siehe Logikverknüpfungen .

Um unabhängig von einer möglicherweise komplizierten 2. Ableitung zu bleiben überprüfst du hier am Besten das Monotonieverhalten.

Art der Extrempunkte (formal)

%%\begin{array}{l} f'\left({\left(1-\frac{1}{e}\right)}^-\right)\\ = 2\left(\ln\left(\left(1-{\frac{1}{e}}^+ -1\right)^2\right)+2\right)\\ = 2\left(\ln\left({\frac{1}{e^2}}^-\right)+2\right)\\ =2\underbrace{(\underbrace{-2\underbrace{\ln\left( e^-\right)}_{\lt 1}}_{\gt-2}+2)}_{\gt 0} \gt 0 \end{array}%%

Hier ist %%1-\left(\frac{1}{e}\right)^-%% minimal kleiner als %%1-\frac{1}{e}%% .

Diese kleine Abweichung wird die ganze Rechnung mitgezogen.

Beachte, dass die kleine Abweichung je nach Klammersetzung und beim Quadrieren die Richtung ändert!

Diese kleinliche und unanschauliche Vorgehensweise müsste man für jeden Punkt zwei mal durchführen. In der Schule reicht es meistens einfacher:

Da du ausgerechnet hast, dass es nur 2 Extrema gibt, muss der Graph dazwischen entweder die ganze Zeit steigen oder fallen (falls keine Polstelle dazwischen liegt!). Deshalb musst du nicht nicht so nahe an der Extremstelle die Steigung überprüfen - es reicht ein Punkt auf dem Weg zum nächsten Extremum.

Art der Extrempunkte (einfacher)

%%\displaystyle\begin{array}{l} f'\left(0\right)=2\left(\ln\left(\left(-1\right)^2\right)+2\right)=4>0\\ f'\left(1\right)\rightarrow2\left(\ln\left(0^2\right)+2\right)=-\infty \end{array}%%

Da %%0 \lt 1-\frac{1}{e} \lt 1 \lt 1+\frac{1}{e}%% liegen die gewählten Punkte um das erste Extremum herum, aber noch vor dem zweiten Extremum.

Da es keine Polstellen gibt, brauchst du dir um die keine Sorgen zu machen.

%%\displaystyle\Rightarrow\mathrm{HP}\left(1-\frac1{e}\left|\frac4{ e}\right)\right.%%

%%\begin{array}{l} f'\left(1\right)\rightarrow2\left(\ln\left(0^2\right)+2\right)=-\infty \lt 0 \end{array}%%

%%\displaystyle\Rightarrow\mathrm{TP}\left(1+\frac1{ e}\left|-\frac{4}{ e}\right)\right.%%