Wendepunkte bestimmen

Wendepunkte geben Änderungen der Krümmung des Funktionsgraphen an. Rechtsgekrümmte Graphen verlaufen in einer Rechtskurve, linksgekrümmte Graphen in einer Linkskurve.

Ändert sich dieses Verhalten, dann liegt ein Wendepunkt oder eine Definitionslücke im Kurvenverlauf vor.

Die Krümmung eines Graphen wird durch die 2. Ableitung beschrieben.

Da sich bei einem Wendepunkt die Krümmung ändert ist sie am Punkt selber quasi nicht vorhanden, also 0.

Zur Bestimmung der Lage der Wendepunkte musst du also die 2. Ableitung gleich 0 setzen.

Lage der Wendepunkte

Bisher bekannt sind die Funktion und die 1. Ableitung:

%%\begin{array}{l} f\left( x\right)=2\left( x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)\\ f'\left( x\right)=2\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)+2\right)\end{array}%%

Für die 2. Ableitung musst du die 1. Ableitung nochmal ableiten.

Diesmal reicht die Anwendung der Kettenregel aus.

%%\displaystyle f''\left( x\right)=2\frac{2\left( x-1\right)}{\left( x-1\right)^2}=\frac{4}{ x-1}%%

Nun musst du noch die 2. Ableitung gleich 0 setzen.

Da der Zähler aber immer von 0 verschieden ist, wird auch die zweite Ableitung nie 0 Deshalb gibt es keine Wendepunkte.

Bemerkung: Das bedeutet nicht, dass sich die Krümmung nicht ändert. Wie du später sehen wirst ändert sich die Krümmung des Graphen nämlich doch einmal. An dieser Stelle ist nur kein Wendepunkt.