Stammfunktion finden

Um eine Stammfunktion für %%f%% zu finden muss man die Funktion %%f%% integrieren . Bei komplizierteren Funktionen kann das schwierig werden, aber bei der Integration gibt es Techniken, die es auch erlauben, solche Funktionen zu integrieren, z.B. Substitution und Partielle Integration

%%F\left( x\right)=\int f\left( t\right)\mathrm{d}t%%

Zuerst stellst du die Gleichung für das Integral auf.

%%F(x)%% ist dabei die gesuchte Stammfunktion zu %%f%%.

Dann setzt man die Funktion %%f%% ein.

Es gibt zwei Wege, um das Integral zu lösen.

Version 1: Partielle Integration

%%F\left( x\right)=\int2\left( t-1\right)\cdot\ln\left(\left( t-1\right)^2\right){d}t%%

Hier habst du ein Produkt, das sich nicht ohne Weiteres integrieren lässt. Versuch es mit partieller Integration, wobei

%%u'(x)=2(x-1) \wedge v(x)=\ln\left((x-1)\right)%% .

%%\begin{array}{rcl} F\left( t\right)&=&\int u'\left( t\right) v\left( t\right)\mathrm{d}t\\&=& u\left( x\right) v\left( x\right)-\int u\left( t\right) v'\left( t\right)\mathrm{d}t\\ &=&\left( x-1\right)^2\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-\int\left( t-1\right)^2\frac{2\left( t-1\right)}{\left( t-1\right)^2}{d}t\\&=&… \end{array}%%

Dass  %%(x-1)^2%% eine mögliche Stammfunktion von %%2(x-1)%% ist, kann man durch Ableiten der Stammfunktion überprüfen.

Eigentlich wäre %%\int 2(t-1)\mathrm{d}t=x^2-2x%%, da man aber bei Stammfunktionen Konstanten beliebig addieren kann kommt man auch auf das schönere %%x^2-2x+1=(x-1)^2%% .

Im neuen Integral kürzt sich dann einiges weg…

%%\begin{array}{cl}=\left( x-1\right)^2\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-\int 2\left( t-1\right){d}t\\ =\left( x-1\right)^2\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-\left( x-1\right)^2+ C\\ =\left( x-1\right)^2\cdot\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-1\right)+ C \end{array} %%

mit einer Konstanten %%C%%

…bis auf das bereits bekannte Integral von %%2(x-1)%%.

Nachdem das letzte Integral bestimmt ist, dürfen wir nicht vergessen, eine Konstante C zu addieren, die möglicherweise vorhanden, aber nicht auffällt, weil sie beim Ableiten sofort wegfällt.

%%\Rightarrow F\left( x\right)=\left( x-1\right)^2\cdot\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-1\right)+ C%%

Wird nur verlangt, dass man eine Stammfunktion angeben soll, dann kann man auch %%C=0%% setzen und die Konstante weglassen.

Version 2: Substitution

%%F\left( x\right)=\int2\left( t-1\right)\cdot\ln\left(\left( t-1\right)^2\right)\mathrm{d}t%%

Für eine Substitution benötigst du ein Integral der Form

%%\displaystyle \int g'(t)f(g(t))\mathrm{d}t%% .

Genau das liegt aber vor. Wir wählen

%%f(x)=\ln x%% und %%g(x)=(x-1)^2=z%% .

%%\begin{array}{ccc} F\left( x\right)&=&\int2\left( t-1\right)\cdot\ln\left(\left( t-1\right)^2\right)\mathrm{d}t\\ F\left( z\right)&=&\int\ln\left( z\right)\mathrm{d}z\\ &=& z\left(\ln\left( z\right)-1\right)+ D \end{array}%%

Da du ein unbestimmtes Integral hast, kannst du die Integrationsgrenzen natürlich nicht anpassen.

Die Stammfunktion des Logarithmus solltest du aus der Schule kennen, kurz irgendwo nachschlagen oder aber nochmal mit partieller Integration nachrechnen.

Nun musst du nur noch resubstituieren.

%%z=(x-1)^2%%

%%\Rightarrow F\left( x\right)=\left( x-1\right)^2\left(\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)-1\right)+ C%%

Schon bist du fertig. Das zeigt wieder: Wenn du bestimmte Eigenarten von Funktionen siehst, kannst du dir einiges an Arbeit sparen.

Beachte: Die Stammfunktion ist nur auf stetigen Abschnitten der Ausgangsfunktion %%f%% definiert, also nicht auf den Definitionslücken -1 und 1 !