Wertebereich bestimmen

Der Wertebereich oder die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller Zahlenwerte, die die Funktion mindestens einmal annimmt.

Ist die Funktion in einem Intervall stetig, dann ist dort auch der Wertebereich ein Intervall.

Grenzen des Wertebereichs

Die Grenzen des Wertebereichs sind der minimale Wert und der maximale Wert, den die Funktion annimmt.

Diese Werte erhälst du entweder aus den Grenzwerten oder den Extremwerten.

%%\displaystyle\mathrm{HP}\left(1-\frac{1}{ e}\left|\frac4{ e}\right)\right.\Rightarrow{y}_\max=\frac{4}{e}%%

%%\displaystyle\mathrm{TP}\left(1+\frac{1}{e}\left|-\frac{4}{e}\right)\right.\Rightarrow{y}_\min=-\frac{4}{e}%%

Das wären die %%y%%-Werte des Minimums und des Maximums. Das sind aber nicht die kleinst- und größtmöglichen Werte, denn…

%%\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty \Rightarrow y_\mathrm{min}=-\infty%%

%%\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty \Rightarrow y_\mathrm{max}=\infty%%

…der Grenzwert im Unendlichen erlaubt Werte im Unendlichen.

Lücken im Wertebereich

Genauso wie es Definitionslücken gibt, können an diesen Unstetigkeitsstellen auch Lücken im Wertebereich auftreten. Die musst du noch überprüfen, um den Wertebereich angeben zu können.

Bei der Grenzwertbetrachtung wurde berechnet:

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1} f\left( x\right)=-4\cdot\ln\left(4\right)%%

Dieser Wert ist vom Wertebereich ausgenommen, wenn er nicht an einer anderen Stelle doch noch angenommen wird. Das musst du noch prüfen.

Da die Funktion von %%-\infty%% kommt und das Maximum bei %%x=1-\frac{1}{e}%% liegt, steigt die Funktion im Bereich um -1.

Im weiteren Funktionsverlauf fällt die Funktion dann nur noch einmal nämlich auf das Minimum %%y=-\frac{4}{e}%% das höher liegt als %%-4\ln(4)%% Also wird dieser Wert nicht mehr angenommen und ist eine Lücke im Wertebereich.

%%\displaystyle\lim_{ x\rightarrow1} f\left( x\right)=0%%

Der Wert 0 wird von der Funktion aber schon noch zweimal angenommen (die beiden Nullstellen) und ist daher keine Lücke im Wertebereich.

%%\Rightarrow \mathbb{W}_\mathrm f=\mathbb{R}\setminus\left\{-4\cdot\ln\left(4\right)\right\}%%