Flächenberechnung:

Bestimme die Größe der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion %%f%%, der x-Achse und den Geraden %%x=-0,5%% und %%x=0,5%%.

Fläche unter dem Graphen berechnen

Zur Berechnung der Fläche unter dem Graphen zwischen zwei bestimmten Stellen muss man die Funktion von der linken Grenze bis zur rechten Grenze integrieren. Dabei darf die Funktion zwischen den Grenzen die x-Achse nicht schneiden, da sich sonst die Flächen unter und über der x-Achse wieder gegenseitig wegheben können.

Wenn die Funktion eine Nullstelle im Integrationsintervall hat muss man zuerst bis zur Nullstelle integrieren und dann von der Nullstelle aus weiter, da man nur positive Flächen betrachtet.

%%\begin{array}{rcl} A&=&\left|\int_{-0,5}^{0,5}\left| f\left( x\right)\right|\operatorname{d} x\right|\\&=&\left|\int_{-0,5}^0 f\left( x\right)\operatorname{d} x+\int_0^{0,5} f\left( x\right)\operatorname{d} x\right|\\ &=&\vert F\left(0\right)- F\left(-0,5\right)+ F\left(0,5\right)- F\left(0\right)\vert\\ &=&\vert-1-0,25\cdot\left(\ln\left(2,25\right)-1\right)+0,25\cdot\left(\ln\left(0,25\right)-1\right)+1\vert\\ &=&\left|0,25\left(\ln\left(0,25\right)-\ln\left(2,25\right)\right)\right|\\ &=&\left|0,25\cdot\ln\left(\frac{0,25}{2,25}\right)\right|\\&=&\left|0,25\cdot\ln\left(\frac19\right)\right|\\ &\approx&0,55\end{array}%%

Die Fläche berechnet sich also als der Betrag des Integrals der positiven Funktion von -0,5 bis 0,5.

Spaltet man das Integral an der Nullstelle 0 auf und verwendet die Stammfunktion, dann braucht man nur die Grenzen einzusetzen und zu vereinfachen.

Je nachdem, wie es verlangt wird, kann man das Ergebnis auch als genauen Wert stehen lassen und muss den Logarithmus nicht mehr ausrechnen.