Stetige Fortsetzung:

Setze die Funktion %%f%% - wenn möglich -  stetig zu einer Funktion %%\hat f%% fort.

Funktion stetig fortsetzen

Will man eine Funktion stetig fortsetzen, dann muss man die Funktion an allen Unstetigkeitsstellen - und nur dort - neu definieren.

Deswegen erhält man dann eine abschnittsweise definierte Funktion.

Hier hast du:

%%f\left( x\right)=2\left( x-1\right)\cdot\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)%%

Diese Funktion hat Definitionslücken bei -1 und 1 und damit dort auch Unstetigkeitsstellen.

Beide sind keine Polstellen, sondern behebbare Definitionslücken, also ist die Funktion stetig fortsetzbar.

Für die kritischen Punkte gilt

%%\displaystyle\begin{array}{ll} \underset{ x\rightarrow-1}\lim f\left( x\right)&=-4\ln\left(4\right)\\ \lim_{ x\rightarrow1} f\left( x\right)&=0 \end{array}%%

Nun definierst du die Funktion neu und setzt an den kritischen Stellen jeweils den Grenzwert ein:

%%\widehat{f}\left( x\right)=\left\{ \begin{array}{lcl}-4\cdot\ln\left(4\right)&\text{für}& x=-1\\ 0&\text{für}& x=1\\ f\left( x\right)&\text{sonst}& \end{array}\right.%%

Die Funktion %%\widehat{f}%% ist jetzt die stetig fortgesetzte Version von %%f%% ohne Lücken.