Flächenberechnung II:

Bestimme die Größe der Fläche die der Graph der stetigen Funktion %%\widehat{f}%% mit dem Graphen der Tangente von %%\widehat{f}%% am Punkt %%\displaystyle \left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%% einschliesst.

Hinweis: Runde die Integrationsgrenzen und das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen

Fläche zwischen zwei Graphen

Will man die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen, so berechnet man zuerst die Fläche unter den "höheren" Graphen und zieht dann die Fläche unter dem "tieferen" Graphen ab.

Da sich die Lage zueinander bei jedem Schnittpunkt ändert muss man zuerst die Schnittpunkte der beiden Graphen kennen:

Schnittpunkte der Graphen

Du kannst hier entweder die Tangentengleichung am Punkt %%\displaystyle\left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%% aufstellen und damit arbeiten oder du erinnerst dich, dass %%\displaystyle\left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%% der Hochpunkt von %%f%% war.

Deshalb hat die Tangente %%t_\mathrm{HP}%% an diesem Punkt die Steigung 0 und lautet:

%%t_\mathrm{HP}: y=\frac{4}{e}%%

Mit diesem Wissen hast du auch schon den ersten Schnittpunkt gefunden Es ist der Hochpunkt

%%\mathrm{HP}\left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%%

Für die anderen Schnittpunkte musst du nun beide Funktionen gleichsetzen:

%%\widehat{ f}\left( x\right)=\frac{4}{e}\\ \text{Sei} x\neq-1;1\\ 2\left(x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)=\frac{4}{e}%%

Da diese Gleichung nicht exakt lösbar ist, hilft das Newton'sche Näherungsverfahren bei der Funktion

%%\widetilde{f}\left(x\right)=2\left(x-1\right)\ln\left(\left(x-1\right)^2\right)-\frac{4}{e}%%

Überprüfst du den Funktionsgraphen, dann stellst du fest, dass es nur einen zweiten Schnittpunkt gibt. Dieser liegt zwischen den Werten 2 und 3. Wir wählen %%x_0=3%% .

%%\displaystyle\begin{array}{ccl}{x}_1&=&{x}_0-\frac{\widetilde{f}\left({x}_0\right)}{\widetilde{f'}\left({x}_0\right)}\\ &=&3-\frac{4\ln\left(4\right)-\frac4{e}}{2\left(\ln\left(4\right)+2\right)}\approx2,40 \end{array}%%

Der erste Newtonschritt liefert als neuen Ausgangswert ungefähr 2,40.

Der Wert liegt links von 3 auf der Seite der Nullstelle von %%\widetilde{f}%%, die ja der Schnittpunkt ist.

Weitere Newtonschritte liefern

%%\displaystyle\begin{array}{l}{x}_2={x}_1-\frac{\widetilde{f}\left({x}_1\right)}{\widetilde{f'}\left({x}_1\right)}=2,32\\ {x}_3={x}_2-\frac{\widetilde{f}\left({x}_2\right)}{\widetilde{f'}\left({x}_2\right)}=2,32 \end{array}%%

Das Newtonverfahren konvergiert also sehr schnell gegen einen Wert.

Überprüfst du diesen Wert durch Einsetzen in %%f%%, erhälst du %%f(2,32)\approx1,47\approx\dfrac{4}{e}%%. Das Ergebnis stimmt also im Rahmen der Rechenungenauigkeit.

Das Integral zur Flächenbestimmung geht also von %%1-\dfrac{1}{e}%% bis %%2,32%% .

Flächenberechnung

Die Fläche zwischen zwei Graphen berechnet sich über die Differenz der Flächen unter den einzelnen Integralen.

%%\displaystyle\begin{array}{ccc} A&=&\int_{1-\frac1{ e}}^{2,32}{t}_{HP}\left(x\right)\mathrm{d}x-\int_{1-\frac1{e}}^{2,32}\widehat{f}\left(x\right)\operatorname{d}x\\ &=&\int_{1-\frac1{e}}^{2,32}\frac{4}{e}\mathrm{d}x-\int_{1-\frac1{ e}}^{2,32}2\left(\mathrm x-1\right)\ln\left(\left(\mathrm x-1\right)^2\right)\operatorname{d}x\\ &=&\left[\frac4{e}x\right]_{1-\frac1{e}}^{2,32}-F\left(2,32\right)+F\left(1-\textstyle\frac1{e}\right)\\ &\approx&3,41-0,93+0,77-0,41\\ &\approx&2,8\end{array}%%

Man kann hier auf die Stammfunktion von %%f%% zurückgreifen, die dieselbe ist, wie die von %%\widehat{f}%%, aber überall definiert ist.

Integriert man die Konstante und setzt man die Grenzen ein, so erhält man einen ungefähren Wert für die gesuchte Fläche.