Tangente bestimmen:

Bestimme die Tangente zur Funktion f am allgemeinen Punkt %%(p|f(p))%%.

Die Tangente zum Punkt %%(p|f(p))%% ist eine Gerade, die den Graph %%G_f%% von %%f%% bei %%(p|f(p))%% berührt.

Sie hat also das Aussehen einer Geradengleichung %%y=mx+t%%.

Da die Tangente den Graphen von %%f%% berührt, läuft sie an genau dem einen Berührpunkt quasi parallel zu %%G_f%%, hat also die gleiche Steigung. Damit kannst du etwas anfangen:

%%y=mx+ t%%

Das ist die allgemeine Geradengleichung. Für die Tangentengleichung musst du nun %%m%% und %%t%% bestimmen.

Da, wie oben beschrieben, die Steigung der Tangente am Berührpunkt gleich der Steigung des Funktionsgraphen ist, kannst du die beiden Terme gleichsetzen.

%%m= f'\left( p\right)=2\cdot\left(\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)+2\right)%%

Für das fehlende %%t%% benötigst du den Berührpunkt %%(p|f(p))%%.

Für diesen ist die Gleichung nämlich auch erfüllt. Deshalb kannst du den Punkt für %%x%% unf %%y%% einsetzen und kannst die letzte Unbekannte %%t%% bestimmen

%%\begin{array}{cccc} & f\left( p\right)&=& f'\left( p\right) p+ t\\ \Leftrightarrow&2\left( p-1\right)\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)&=&2\left(\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)+2\right) p+ t\\ \Leftrightarrow&2\left( p-1\right)\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)-2\left(\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)+2\right) p&=& t\\ \Leftrightarrow&2\cdot\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)\cdot\left(\left( p-1\right)- p\right)-4 p&=& t\\ \Leftrightarrow&-2\cdot\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)-4 p&=& t \end{array}%%

Als allgemeine Tangentengleichung erhältst du also:

%%y=2\left(\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)+2\right)\cdot x-2\cdot\ln\left(\left( p-1\right)^2\right)-4 p%%

Bemerkungen:

  1. Auch wenn diese Gleichung unschön aussieht: Für ein konkretes %%p%% wird die Gleichung kürzer und viel schöner und da du sie allgemein ausgerechnet hast, kann man jeden Punkt %%(p|f(p))%% ohne Bedenken einsetzen.

  2. Auch die Tangenten sind natürlich nur dann definiert, wenn auch die Funktion f definiert ist. Allerdings sehen die Tangenten zur Funktion %%\widehat{f}%% genau gleich aus!