Schnittpunkte zweier Funktiongraphen:
Bestimme die Schnittpunkte des Funktionsrgaphen %%G_f%% von %%f%% mit dem Funktionsgraphen %%Gg%% von der Funktion

%%g:x\mapsto2\left( x-1\right)\cdot\ln\left( x\right), \mathbb{D}_g=\mathbb{R}^+%%.

Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen

Wenn sich zwei Graphen schneiden, dann liefern beide Funktionen an den Schnittpunkten das gleiche Ergebnis. Die Funktionswerte sind an diesen Punkten identisch.

x- Werte bestimmen

Zur Bestimmung der Schnittpunkte reicht es also, die Funktionen gleich zu setzen und nach %%x%% aufzulösen, da man dann die %%x%%-Werte erhält, für die die Funktionen dasselbe Ergebnis liefern.

Du setzt an:

%%\begin{array}{rcl} f\left( x\right)&=& g\left( x\right)\\ 2\left( x-1\right)\ln\left(\left( x-1\right)^2\right)&=&2\left( x-1\right)\ln\left( x\right) \end{array}%%

Auf beide Seiten stehen Produkte mit dem gleichen Faktor %%2(x-1)%%. Falls dieser Faktor nicht 0 ist, darfst du durch ihn dividieren.

Du machst eine Fallunterscheidung:

Fall 1:

%%2\left(\mathrm x-1\right)\neq0:%%

%%\begin{array}{rcll} \ln\left(\left( x-1\right)^2\right)&=&\ln\left( x\right)&\vert e\\ \left( x-1\right)^2&=& x&\\ x^2-2x+1&=& x&\vert- x\\ x^2-3 x+1&=&0&\end{array}%%

Im ersten Fall erhältst du eine quadratische Gleichung, die du nun mit der Mitternachtsformel lösen kannst.

%%\begin{array}{ccc}{ x}_{1;2}&=&\dfrac{- b\pm\sqrt{ b^2-4{ac}}}{2 a}\\ &=&\dfrac{3\pm\sqrt{9-4}}2\end{array}\\ \Rightarrow{ x}_1=\frac12\left(3+\sqrt5\right)\\ \wedge x_2=\frac12\left(3-\sqrt5\right) %%

Mit der Mitternachtsformel erhältst du die %%x%%-Werte von zwei Schnittpunkten.

Nun muss aber noch der 2. Fall betrachtet werden!

Fall 2:

%%2\left(\mathrm x-1\right)=0%%

%%\begin{array}{rrcl}&2\left(\mathrm x-1\right)&=&0&\\\Leftrightarrow&\mathrm x&=&1&\notin\mathbb{D}_ f\end{array}%%

Fall 2 tritt nur ein, wenn %%x=1%% gilt. Da 1 nicht im Definitionsbereich liegt, kann auch dieser Fall nicht eintreten und du bist fertig.

y-Werte bestimmen

Um die Schnittpunkte angeben zu können, muss man sowohl %%x%%- als auch %%y%%- Werte kennen.

Du setzt deshalb die gefundenen %%x%%-Werte noch in eine Funktion ein und erhältst die gesuchten %%y%%-Werte.

Da du Schnittpunkte berechnest, sind die Funktionswerte bei beiden Funktionen gleich - du wählst also am besten die einfachere.

%%\begin{array}{rcl} g\left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right)\right)&=&2\left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right)-1\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt5\right)\right)\\ &=&\left(1+\sqrt{5}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right)\right)\end{array}%%

%%\begin{array}{rcl} g\left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\right)&=&2\left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt5\right)-1\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\right)\\ &=&\left(1-\sqrt{5}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\right)\end{array}%%

Die Ergebnisse sind nicht schön, aber genau und richtig. Du hast also die Schnittpunkte %%S_1%% und %%S_2%% bestimmt:

%%\displaystyle S_1 \left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right) \left| \left(1+ \sqrt{5} \right) \ln \left(\frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right)\right)\right)\right. \wedge S_2 \left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right) \left| \left(1- \sqrt{5} \right) \ln \left(\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\right)\right)\right.%%