Monotonieverhalten bestimmen

Eine Funktion kann entweder streng monoton steigen oder fallen.

Das Monotonieverhalten ändert sich an den Minima und Maxima und es kann sich an den Definitionslücken ändern, wenn es Polstellen sind.

In den Intervallen zwischen diesen Punkten ist die Funktion stetig und hat dasselbe Monotonieverhalten.

Man kann alle kritischen Punkte nacheinander abarbeiten.

%%x_\mathrm{Mon}%%

%%-\infty%%

%%-1%%

%%1-\frac{1}{e}%%

%%1%%

%%1+\frac{1}{e}%%

%%\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_\mathrm{Mon}}f(x)%%

%%-\infty%%

%%-4\ln(4)%%

%%\frac{4}{e}%%

%%0%%

%%-\frac{4}{e}%%

%%\infty%%

Zwischen diesen Punkten ist die Funktion jeweils streng monoton. Ob die Funktion fällt oder steigt sieht man an den Grenzwerten.

%%x_\mathrm{Mon}%%

%%-\infty%%

%%-1%%

%%1-\frac{1}{e}%%

%%1%%

%%1+\frac{1}{e}%%

%%\infty%%

%%\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_\mathrm{Mon}}f(x)%%

%%-\infty%%

%%-4\ln(4)%%

%%\frac{4}{e}%%

%%0%%

%%-\frac{4}{e}%%

%%\infty%%

%%\nearrow%%

%%\nearrow%%

%%\searrow%%

%%\searrow%%

%%\nearrow%%

steigend

steigend

fallend

fallend

steigend

Diese Beobachtungen kann man noch mit Intervallen angeben.

Die Funktion %%f%% ist…

…monoton steigend für %%\displaystyle x\in \left] -\infty;1-\frac{1}{e}\right[\setminus\left\{-1\right\} \cup\left]1+\frac{1}{e};\infty \right[%%.

monoton fallend für %%\displaystyle x \in \left]1-\frac{1}{e};1+\frac{1}{e}\right[\setminus\left\{1\right\}%%.