Geometrie am Funktionsgraphen:

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Vierecks %%\mathrm{Nst}_1\mathrm{TP}\mathrm{Nst}_2\mathrm{HP}%%

Runde Zwischenergebnisse notfalls auf zwei Nachkommastellen.

Das ist keine typische Analysisaufgabe, sondern eher ein kurzer Abstecher in die Geometrie. Willst du nur Analysis üben, dann kannst du diese Aufgabe gerne ignorieren.

Geometrie am Funktionsgraphen

Was wir wissen

Die vier gegebenen Punkte sind die Nullstellen und die Extrema. Ihre Koordinaten lauten

%%{\mathrm{Nst}}_1\;\left(0\left|0\right)\right.,\mathrm{TP}\left(1+\frac{1}{ e}\left|-\frac{4}{e}\right)\right.,\mathrm{Nst}_2\left(2\left|;0\right)\right.,\mathrm{HP}\left(1-\frac{1}{e}\left|\frac{4}{e}\right)\right.%%.

Zusätzlich sind die Achsen des Koordinatensystems zueinander senkrecht, was die Bestimmung der Seitenlängen des Vierecks mittels Pythagoras ermöglicht.

Umfang

Bestimme die Längen der Seiten über Pythagoras:

%%\overline{{\mathrm{Nst}}_1\mathrm{TP}}=\sqrt{\left(1+\frac1{e}\right)^2+\left(-\frac4{e}\right)^2}\approx2%%

%%\overline{{\mathrm{TPNst}}_2}=\sqrt{\left(2-\left(1+\frac1{\mathrm e}\right)\right)^2+\left(-\frac4{\mathrm e}\right)^2}\approx1,6%%

%%\overline{{\mathrm{Nst}}_2\mathrm{HP}}=\sqrt{\left(2-\left(1-\frac1{\mathrm e}\right)\right)^2+\left(\frac4{\mathrm e}\right)^2}\approx2%%

%%\overline{{\mathrm{HPNst}}_1}=\sqrt{\left(1-\frac1{\mathrm e}\right)^2+\left(\frac4{\mathrm e}\right)^2}\approx1,6%%

Du stellst fest, dass jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Das Vierecks ist also schlimmstenfalls ein Parallelogramm.

Der Umfang lässt sich aber jetzt schon berechnen:

%%U_\mathrm{Viereck}\approx2+1,6+2+1,6=7,2%%

Flächeninhalt

Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen brauchen wir noch eine Größe, z.B. die Höhe.

Die Höhe zu bestimmen ist aber viel zu umständlich. Für die Flächenberechnung gibt es einfachere Wege:

Methode 1: Analytische Geometrie in der Ebene

Versuche einen Weg über die analytische Geometrie. Für die Fläche eines Paralellogramms gilt im %%\mathbb{R}^2%%:

%%A_▱=\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right|%%

mit den aufspannenden Vektoren %%\overrightarrow{\mathrm{AB}}%% und %%\overrightarrow{\mathrm{AD}}%% .

In unserem Fall haben wir die Vektoren

%%\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{{\mathrm{Nst}}_1\mathrm{TP}}= \begin{pmatrix} 1+\frac{1}{e}\\ -\frac{4}{e}\end{pmatrix},\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{{\mathrm{Nst}}_1\mathrm{HP}}=\begin{pmatrix}1-\frac{1}{e}\\ \frac{4}{e} \end{pmatrix}%%

%%\displaystyle\begin{array}{ccl} A_\mathrm{Viereck}&=&\left|\det\left(\vec{\mathrm{AB}};\vec{\mathrm{AD}}\right)\right|\\ &=&\left|\det\begin{pmatrix}1+\frac1{\mathrm e} &1-\frac4{e}\\ -\frac4{\mathrm e}&\frac4{\mathrm e}\end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix}\left(1+\frac1{\mathrm e}\right)\left(\frac4{\mathrm e}\right)-\left(1-\frac1{\mathrm e}\right)\left(-\frac4{\mathrm e}\right)\end{pmatrix}\right|\\&=&\begin{vmatrix}\frac8{\mathrm e}\end{vmatrix}\\ &=&\frac8{\mathrm e}\end{array}%%

Somit hast du die Fläche des Vierecks berechnet.

Methode 2: Aufspalten in Dreiecke

Siehst du dir den Funktionsgraphen an, kannst du erkennen, dass das gesuchte Viereck durch die x-Achse in zwei Dreiecke aufgeteilt wird. Für die Dreiecksflächen brauchst du nur Grundseite und Höhe. Beides ist durch die Koordinaten gegeben.

Dreieck %%\mathrm{Nst}_1\mathrm{Nst}_2\mathrm{HP}%%:

Grundseite: Subtrahiere die x-Koordinaten der Nullstellen:

%%{g}_1=2-0=2%%

Höhe: Der Betrag der y-Koordinate des Hochpunktes:

%%{h}_1=\dfrac{4}{e}%%

Dreieck %%\mathrm{Nst}_1\mathrm{TP}\mathrm{Nst}_2%%:

Grundseite: Subtrahiere die x-Koordinaten der Nullstellen:

%%g_2=2-0=2%%

Höhe: Der Betrag der y-Koordinate des Tiefpunktes:

%%h_2=\frac{4}{e}%%

Fläche des Vierecks %%\mathrm{Nst}_1\mathrm{TPNst}_2\mathrm{HP}%%:

%%\displaystyle A_▱=\frac{1}{2}g _1 h_1+\frac{1}{2}g_2 h_2=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{4}{e}+\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{e}=\frac{8}{e}%%

Auch hier ergibt sich - sogar sehr schnell - die Vierecksfläche.