%%f\left(x\right)=\sqrt{x^3}%%

Ableitung mit der Kettenregel

Informationen zur Anwendung der Regel findest du im Artikel Kettenregel.

%%f\left(x\right)=\sqrt{x^3}%%

Finde die einzelnen Funktionen

Hinweis

%%\sqrt{x^3}%% kannst du auch als %%x^{\frac32}%% schreiben. Dann kannst du die Formel für die Ableitung von %%x^n%%, die auch für rationale Exponenten gilt, verwenden. Du erhälst natürlich das gleiche Ergebnis und es geht schneller. Daher solltest du die Kettenregel als Alternativlösung im Hinterkopf behalten, falls du mal die Formel für die Ableitung von %%x^n%% vergessen solltest ;)

%%\begin{align} g\left(x\right)&=\sqrt x\\ h\left(x\right)&=x^3 \end{align}%%

%%\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)%%

Finde die einzelnen Ableitungen

%%g'\left(x\right)=\frac1{2\sqrt x}\\ h'\left(x\right)=3x^2%%

Setze nun in die Formel der Kettenregel ein

%%\begin{array}{rcl}f'\left(x\right)&=&g'\left(h\left(x\right)\right)\cdot h'\left(x\right)\\ &=&\frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}\cdot3x^2\\ &=&\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}\end{array}%%

Am Ende könntest du noch vereinfachen

%%f'\left(x\right)=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x^4}{x^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}%%