Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen/1749 . Ist eine der Gleichungen nach einer

Variablen x aufgelöst, setzt man den Term auf der anderen Seite bei allen anderen Gleichungen für x ein. Dadurch verringert sich sowohl die Anzahl der Variablen als auch der Gleichungen um eins.   

Vorgehen

Um ein Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, sollte man die Gleichung heraussuchen, bei der man am leichtesten nach einer Unbekannten auflösen kann. Am besten möglich ist das, wenn eine Unbekannte allein steht, also ohne Koeffizient/1611 .

Nach dieser Unbekannten wird aufgelöst und sie wird in den übrigen Gleichungen eingesetzt bzw. ersetzt.

Beispiel

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}I&a&+&\frac12b&-&10c&=&5\\\mathrm{II}&2a&-&b&\;&\;&=&6\\\mathrm{III}&-2a&+&4b&-&5c&=&-12\end{array}$

Hier bietet sich das b in der Gleichung II an:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}\mathrm{II}&2a&-b&=&6&\;&\;&\vert+b\\\;&2a&\;&=&6&+b&\;&\vert-6\\\;&2a&-6&=&b&\;&\;&\;\end{array}$

$\;\;\Rightarrow\;\;b=2a-6$

Nun kann man b zum Beispiel in der Gleichung I ersetzen und dann möglichst weit auflösen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}I&a&+\frac12\left(2a-6\right)&-10c&=&5&\;&\;\\\;&a&+a-3&-10c&=&5&\;&\;\\\;&2a&-3&-10c&=&5&\;&\vert+3\\\;&2a&\;&-10c&=&8&\;&\;\end{array}$

Nun kann man diese Gleichung nach c auflösen und dann in der Gleichung III sowohl b als auch c ersetzen, um die Unbekannte a herauszufinden.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccc}I&2a&-10c&=&8&\;&\;&\vert+10c\\\;&2a&\;&=&8&+10c&\;&\vert-8\;\;\;\\\;&2a&-8&=&10c&\;&\;&\vert:10\;\;\\\;&\frac15a&-\frac45&=&c&\;&\;&\;\end{array}$

Jetzt weiß man:

• $b=2a-6$

• $c=\frac15a-\frac45$

   

  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;\;\;\begin{array}{ccccccccc}\Rightarrow&\mathrm{III}&-2a&+4\left(2a-6\right)&-5\left(\frac15a-\frac45\right)&=&-12&\;&\;\\\;&\;&-2&+8a-24&-a+4&=&-12&\;&\;\\\;&\;&5a&-20&\;&=&-12&\;&\vert+20\\\;&\;&5a&\;&\;\;&=&8&\;&\vert:5\end{array}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a=\frac85=1\frac35=1{,}6\end{array}$

Jetzt, da man a errechnet hat, kann man auch die übrigen Größen berechnen:

• $a=\frac85=1{,}6$

• $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}b=2\cdot\left(\frac85\right)-6=\frac{16}5-6=-2\frac45=-2{,}8\end{array}$

• $c=\frac15\cdot\left(\frac85\right)-\frac45=\frac8{25}-\frac45=-\frac{12}{25}=-0{,}48$